и 
было сколь угодно близко к 
Это утверждение совместно с (215) и дает (214).
В дальнейшем мы будем рассматривать операторы только с симметричным ядром 
Для них характерно следующее равенство:
При этом 
есть вещественное число. Такие линейные операторы называются самосопряженными [30]. Основным для дальнейшего будет следующая теорема.
Теорема 2. Норма самосопряженного линейного оператора А выражается формулой
Обозначим
Надо доказать, что 
. Если 
- любой элемент, отличный от нулевого, то можем написать:
откуда
Для нулевого элемента 
это соотношение очевидно. Пользуясь линейностью, можем написать
или
где 
- обозначение вещественной части. С другой стороны, применяя (218), получим
откуда имеем неравенство при любых 
и
Пусть 
— модуль и а — аргумент комплексного числа 
Поскольку элемент 
произволен, то
мы можем заменить 
на 
. При этом 
заменится на 
заменится на 
останется без изменения, так что неравенство примет вид при любых 
откуда 
при 
и, следовательно,
Остается доказать, что 
Мы имеем 
откуда
Но, по определению, d есть точная верхняя граница левой части написанного неравенства, т. е. 
Итак, для самосопряженного линейного оператора
Очевидно, доказанные теоремы справедливы, как в пространстве 
так и в 
при 
т. е.
при всех 
и теорема очевидна, ибо в этом случае 
. Положим, что 
оператор аннулирования. Из неравенства
положить 
ненулевой элемент, то получим 
силу 
можно выбрать 
так, чтобы 
