92. Разрывные решения.

В некоторых случаях оказывается, что среди линий, обладающих непрерывно меняющейся касательной, нет такой, которая дает экстремум некоторому функционалу, и возникает вопрос, нельзя ли получить решение среди линий более общего класса, например, среди линий, которые в отдельных точках не имеют касательной, но имеют все же определенную касательную слева и определенную касательную справа (линии с угловыми точками). Мы проведем в общих чертах рассуждение для случая простейшего функционала

не останавливаясь на детальных доказательствах.

Рассмотрим сначала один частный пример, а именно, функционал вида

причем искомая экстремаль должна проходить через точки . Для любой такой кривой функционал (185) будет, очевидно, положительным. Построим линию, состоящую из двух отрезков прямых линий и соединяющую точки а именно, образуем ломаную линию где — начало координат плоскости Нетрудно видеть, что функционал (185) для взятой ломаной линии обращается в нуль, так как вдоль отрезка вдоль отрезка . Эта ломаная

линия, имеющая угловую точку в начале координат, будет, очевидно, давать экстремум интегралу (185).

Проведем теперь рассуждение для общего случая. Положим, что некоторая линия, соединяющая точки и имеющая одну угловую точку дает экстремум функционалу (184) по сравнению с другими, к ней достаточно близкими кривыми, которые также могут иметь угловую точку и должны проходить через заданные конечные точки Мы можем считать закрепленными не только конечные точки, но и точку которая является угловой точкой для исследуемой кривой. Эта кривая при этом предположении тем более должна давать экстремум интегралу (184). Отсюда непосредственно следует, что участки кривой, соответствующие промежуткам оси х, должны являться экстремалями задачи, т. е. должны удовлетворять соответствующему уравнению Эйлера. Существенно выяснить те условия, которым должны удовлетворять ордината и угловые коэффициенты касательных к кривой в точке излома. Определим вариацию интеграла (184), приняв нашу кривую за исходную и разбивая весь промежуток на две части:

Принимая во внимание, что концы кривой закреплены и что оба участка кривой удовлетворяют уравнению Эйлера, мы получим следующее выражение для этой первой вариации:

Ввиду произвольности мы получаем следующие два условия, которые должны выполняться в угловой точке нашей кривой, если эта кривая дает экстремум интегралу (184):

Эти условия называются обычно условиями Вейерштрасса-Эрдманна. Предлагаем читателю проверить, что они действительно выполнены в начале координат для той ломаной линии, которая дает экстремум интегралу (185).

Отметим, что условия (186) сводятся к требованию непрерывности выражений в той точке в которой у имеет скачок. Эти выражения будут, очевидно, непрерывными в остальных точках, где у — непрерывна. Положим, что нам удалось построить общий интеграл уравнения Эйлера. Значения двух произвольных постоянных, входящих в этот интеграл, будут, вообще говоря, различными для промежутков Пусть

- общий интеграл для промежутка и

— для промежутка . Нам надо определить пять постоянных, а именно, — значения произвольных постоянных и абсциссу точки излома. Мы имеем два предельных условия при а также два условия (186). Недостающее пятое равенство мы получим из условия непрерывности кривой при

Совершенно аналогичным образом мы могли бы рассмотреть и тот случай, когда линии ииеют несколько угловых точек.

Можно получить аналогичные условия и для разрывной задачи в случае кратного интеграла:

Положим, что некоторая поверхность и дает экстремум этому интегралу при закрепленном контуре v наличии некоторой линии излома. Иначе говоря, функция должна быть определена в области В плоскости должна иметь заданные значения на контуре этой области, но внутри области может существовать линия , вдоль которой производные первого порядка функции терпят разрыв непрерывности так, что с обеих сторон этой линии указанные частные производные имеют определенные пределы, но они могут быть различными. Среди такого класса функций ищется функция, дающая относительный экстремум интегралу (187).

Положим, что некоторая функция действительно дает такой экстремум и имеет внутри В линию прерывности , которая разбивает область В на две части: Рассуждая совершенно так же, как и выше, мы убедимся, что функция в областях должна быть решением уравнения Остроградского. Существенным моментом является выяснение тех условий, которым должны удовлетворять функция и ее частные производные первого порядка в точках линии . Пусть некоторая функция, содержащая и ее частные производные первого порядка. Такая функция при приближении к точкам линии из областей будет иметь, вообще говоря, различные пределы, которые мы обозначим через Введем специальное обозначение для разности этих пределов, т. е. для скачка функции

Обратимся к формуле (33), дающей вариацию двойного интеграла. Первое слагаемое правой части можно записать в таком виде:

или, принимая во внимание, что и дают направляющей косинусы внешней нормали к контуру мы можем записать упомянутое слагаемое в виде

Применим теперь формулу (33) к интегралу (187), разбивая область В на части и . В каждой из последних областей функция и должна удовлетворять уравнению Остроградского, и потому двойные интегралы будут равны нулю. Контуры областей будут состоять из части контура и линии . На контуре мы имеем а на контуре направляющие косинусы внешней нормали для областей отличаются знаком. Таким образом, окончательно получим

где — направление нормали к , внешней по отношению . Из условия и произвольности и получим одно из условий, которое должно иметь место вдоль :

Мы получили только одно условие, потому что при рассмотрении первой вариации интеграла (187) считали саму линию фиксированной. Более подробное рассмотрение вариации интеграла приводит еще ко второму условию вида 1)

где значок 2 у круглых скобок показывает, что надо брать вдоль значение величины, стоящей в скобках, со стороны области Условия (188) и (189) аналогичны условиям (186) для функционала (184).