Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 89. Теория поля в общем случае.Изложенная геометрическая теория остается справедливой и в случае плоскости, когда основной интеграл имеет вид
Вместо у вводим новую переменную и по формуле
Условие трансверсальности
в новых переменных будет иметь вид
Семейство экстремалей на плоскости должно содержать один параметр, причем мы считаем, что оно покрывает часть плоскости без взаимных пересечений. В этой части плоскости у и новая переменная и являются определенными функциями координат
В данном случае мы будем иметь ту особенность, что всякое семейство экстремалей образует поле. При этом, конечно, мы считаем выполненными те условия, которые обеспечивают теорему существования и единственности для уравнения (169). Перейдем теперь к изложению теории поля в общем случае любого числа измерений. Мы не будем проводить здесь доказательств, которые вполне аналогичны тем доказательствам, которые мы проводили в случае трехмерного пространства. В данном случае основной интеграл будет содержать
Соответствующие экстремали определяются из системы
Вместо
причем мы считаем, что функциональный определитель
отличен от нуля, т. е. уравнения (172) разрешимы относительно Функция
Непосредственно дифференцируя и пользуясь уравнением (172), получим
а система (171) переписывается в виде
С помощью интеграла (170) можно определить понятие квазидлины любой линии в
и эта основная функция должна удовлетворять уравнению с частными производными:
Наоборот, любое решение этого уравнения является, вообще говоря, основной функцией некоторого поля, причем функции (172), соответствующие этому полю, определяются по формулам
будет полным дифференциалом тогда и только тогда, когда
|
1 |
Оглавление
|