89. Теория поля в общем случае.

Изложенная геометрическая теория остается справедливой и в случае плоскости, когда основной интеграл имеет вид

Вместо у вводим новую переменную и по формуле а также функцию . Вместо уравнения Эйлера для интеграла (165) будем иметь систему двух уравнений первого порядка:

Условие трансверсальности

в новых переменных будет иметь вид

Семейство экстремалей на плоскости должно содержать один параметр, причем мы считаем, что оно покрывает часть плоскости без взаимных пересечений. В этой части плоскости у и новая переменная и являются определенными функциями координат точки (а — функция наклона семейства). Обращаясь к условию трансверсальности (168), мы видим, что его можно толковать как дифференциальное уравнение первого порядка для определения трансверсальности кривых семейства экстремалей, т. е. таких кривых, которые пересекаются с экстремалями семейства трансверсально:

В данном случае мы будем иметь ту особенность, что всякое семейство экстремалей образует поле. При этом, конечно, мы считаем выполненными те условия, которые обеспечивают теорему существования и единственности для уравнения (169).

Перейдем теперь к изложению теории поля в общем случае любого числа измерений. Мы не будем проводить здесь доказательств, которые вполне аналогичны тем доказательствам, которые мы проводили в случае трехмерного пространства. В данном случае основной интеграл будет содержать функций независимой переменной и их производные

Соответствующие экстремали определяются из системы уравнений второго порядка:

Вместо вводим новые переменные

причем мы считаем, что функциональный определитель

отличен от нуля, т. е. уравнения (172) разрешимы относительно

Функция , которую мы считаем выраженной через переменные определяется формулой

Непосредственно дифференцируя и пользуясь уравнением (172), получим

а система (171) переписывается в виде уравнений первого порядка (каноническая система):

С помощью интеграла (170) можно определить понятие квазидлины любой линии в -мерном пространстве с координатами . Если совокупность экстремалей, зависящая от произвольных постоянных, заполняет часть -мерного пространства без взаимных пересечений, то мы говорим, что эти экстремали образуют семейство экстремалей. В упомянутой части пространства и тем самым являются определенными функциями точки, т. е. переменных (функции наклона семейства). Центральное поле определяется буквально так же, как и в трехмерном пространстве. Для получения общего поля возьмем некоторую гиперповерхность Условия трансверсальности дают нам соотношений для определения значения производных в каждой точке принимая эти значения за начальные значения при интегрировании системы (171), мы получаем, вообще говоря, семейство экстремалей, пересекающихся трансверсально с . Совершенно так же, как в трехмерном случае, строятся остальные поверхности S, которые пересекаются трансверсально с экстремалями семейства, и это семейство экстремалей образует поле. В каждом поле существует основная функция которая, например, для центрального поля дает величину интеграла от центральной точки поля до переменной точки взятого по экстремали поля. Аналогично определяется основная функция и для любого поля. При любом выборе поля мы имеем для основной функции

и эта основная функция должна удовлетворять уравнению с частными производными:

Наоборот, любое решение этого уравнения является, вообще говоря, основной функцией некоторого поля, причем функции (172), соответствующие этому полю, определяются по формулам Выражение

будет полным дифференциалом тогда и только тогда, когда являются функциями наклона некоторого поля, и в этом случае последнее выражение будет полным дифференциалом основной функции этого поля.