53. Уравнения Вольтерра специального вида.
Рассмотрим уравнения Вольтерра с ядром, зависящим лишь от разности своих двух аргументов:
Предположим, что непрерывные функции 
стремятся к нулю при 
и имеют оценку
где постоянные А и 
, а постоянные 
. Пусть 
верхние границы значений 
при 
. Применяя к уравнению (333) метод последовательных приближений [50], получим для 
при 
оценку 
Отсюда видно, что к функциям 
применимо одностороннее преобразование Лапласа при 
, и мы получаем преобразованные функции:
регулярные в полуплоскости 
. Применяя к обеим частям (333) одностороннее преобразование Лапласа и пользуясь формулой свертывания, будем иметь
откуда
Выше мы видели, что функция 
должна быть регулярной в полуплоскости 
Отсюда ввиду полной независимости 
вытекает, что знаменатель написанной дроби не должен иметь корней внутри упомянутой полуплоскости. Совершая обращение первой из формул (335), получим
Итак, определяя функции 
по формулам (335) и 
по формуле (336), мы получим по формуле (337) решение уравнения (333) в явном виде. Заметим, что при определении функции 
в конечном промежутке 
, мы согласно уравнению (333) используем значения 
только из упомянутого выше промежутка, и можем, таким образом, продолжить эти функции вне указанного промежутка любым образом и, в частности, так, чтобы они удовлетворяли указанным выше условиям. Мы можем даже считать их тождественно равными нулю при достаточно больших положительных значениях 
Покажем, что для уравнения (333) и все повторные ядра зависят лишь от разности 
Мы имеем [50]
Введем вместо 
новую переменную интегрирования 
откуда и следует непосредственно, что 
есть функция разности 
Аналогично доказательство и для следующих повторных ядер. Таким образом, в силу формулы (307) при 
мы можем утверждать, что резольвента уравнения (333) будет зависеть только от упомянутой выше разности Обозначая ее через 
мы, пользуясь формулой (309), можем написать решение уравнения (333) в виде
Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа и вводя, наряду с (335), обозначение
мы получим
Пользуясь формулой (336), мы можем определить 
через известную функцию 
и обращение формулы (339) даст нам резольвенту 
Подставляя 
в формулу (338), получим решение.
Указанный метод решения уравнения (333) приложим и к системам уравнений Вольтерра вида
Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим
Решая эту систему уравнений первой степени, определим 
, и решение нашей системы получится по формулам
и свободного члена 
можно значительно ослабить. Достаточно потребовать, чтобы существовала такая положительная постоянная с, чтобы 
были ограниченными по абсолютной величине при 
При этом будут иметь место формулы (337) и (341) при всех достаточно больших значениях а Для доказательства этого утверждения достаточно обе части (333) умножить на 
и ввести новую искомую функцию 
свободный член 
и ядро 
