23. Ортонормированные в L2 системы.

Сформулируем сначала одну теорему, доказательство которой будет дано в гл. III.

Теорема 1. Пусть какая-либо функция из на конечном промежутке какое-либо заданное число. Тогда существует татя непрерывная на функция что

Эта теорема имеет место и для ограниченных областей на плоскости или в пространстве. Ее обычно формулируют так: множество всех непрерывных функций плотно в в случае ограниченной области.

Мы рассмотрим подробно эту теорему в главе III. Она будет там доказана на основе свойства непрерывности в среднем функций из которое формулируется следующим образом: для любой функции из при любом заданном существует такое что

При этом полагаем если находится вне промежутка Доказательство этого утверждения дано в т. V.

Сформулируем результат для случая неограниченной области. В этом случае множество всех непрерывных функций надо заменить множеством всех непрерывных функций, равных нулю во всех достаточно удаленных точках прямой, плоскости или пространства. Например, в случае плоскости рассматриваемые функций

должны равняться нулю вне некоторого круга с центром в начале координат, причем радиус этого круга может быть различным для различных функций. Такие функции называются обычно финитными.

Рассмотрим теперь вопрос о замкнутости (полноте) ортонормированных систем функций в на конечном промежутке

Теорема 2. Если ортонормированная система непрерывных функций замкнута в классе непрерывных на функций, то она замкнута (полна) и в

Для доказательства используем неравенство треугольника (139), которое запишем в интегральной форме:

т. е.

где функции из в

Пусть задана функция из и число . В силу сформулированной выше теоремы 1 существует такая непрерывная функция что

Обозначим через коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы Так как эта система, по предположению, замкнута в классе непрерывных функций, то существует такое число , что

где

и — коэффициенты Фурье .

Заменяя в (145)

и используя (146) и (147), получим

Если мы заменим в выражении коэффициенты Фурье функции на коэффициенты Фурье

то интеграл, стоящий слева, может только уменьшиться, [II; 160], и следовательно,

где отрезок ряда Фурье

и в силу произвольности и выбора из следует, что ортонормированная система замкнута, а следовательно, и полна в 12.

В томе II была доказана замкнутость соответствующих систем тригонометрических функций на промежутке или в классе непрерывных функций, а потому упомянутые системы замкнуты (и полны) и в

Укажем еще одну ортонормированную систему на промежутке [-1, 1], а именно, систему

где полиномы Лежандра . Эта система может быть получена ортогонализацией степеней и всякий полином степени выражается через

Из теоремы Вейерштрасса следует, что класс всех полиномов всюду плотен в классе непрерывных функций во всяком конечном промежутке, в том числе и в , т. е. при любой заданной непрерывной в промежутке функции и числе существует такой полином , что

причем представим по формуле (151), где степень. Из сказанного следует

причем интеграл, стоящий слева, может только уменьшиться, если коэффициенты формулы (151) заменить коэффициентами Фурье функции Отсюда в виду произвольности следует, что ортонормированная система (150) замкнута в классе всех непрерывных в промежутке функций, а следовательно, и всех функций из При помощи линейной замены мы можем заменить промежуток любым конечным промежутком подходящим выбором . Подставляя в функции (150) и умножая их на получим ортонормированную систему в промежутке замкнутую в . В дальнейшем мы докажем замкнутость функций Эрмита и Лагерра на промежутках

До сих пор мы рассматривали ортонормированные системы на конечных промежутках оси . Рассмотрим теперь квадрат на плоскости, определяемый неравенствами: Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если - ортонормированная замкнутая в система в промежутке то ортонормированная замкнутая в система в квадрате

Приведем краткое доказательство результата. Мы имеем [II; 110]

и написанный интеграл равен единице при нулю в остальных случаях в силу ортонормированности системы Далее в силу эквивалентности замкнутости и полноты нам надо доказать следующее: если принадлежит и

то почти везде в равна нулю. Обозначим:

Из (152) следует

и в силу полноты системы можно утверждать, что почти везде в зафиксировав такое у, получим

В силу полноты почти везде по при указанных фиксированных у. Применяя теорему Фубини к интегралу по от получим в силу сказанного выше, что этот интеграл равен нулю, т. е. почти везде в что и требовалось доказать.