12. Вырожденные уравнения.
Укажем теперь класс интегральных уравнений, решение которых сводится к алгебраическим уравнениям первой степени. Ядро 
называется вырожденным, если оно представляет собой конечную сумму произведений функций только от 5 на функции только от 
Функции 
так же как и функции 
мы можем считать линейно-независимыми. Если бы некоторое 
выражалось линейно через остальные 
, то мы могли бы подставить это выражение 
в (85). При этом число слагаемых уменьшилось бы.
Рассмотрим уравнение с таким ядром и союзное с ним уравнение:
Принимая во внимание (85), получим
или
где 
и 
— некоторые числа, определяемые равенствами
Таким образом, всякое решение уравнений (87) должно иметь вид (88), и все сводится к нахождению не функций, а чисел 
Подставляя выражения (88) в уравнения (87) и приравнивая коэффициенты при линейно-независимых функциях 
получим для определения 
две системы уравнений:
где
Определители систем 
и (892) отличаются лишь заменой строк столбцами.
Если, например, определитель системы 
отличен от нуля, то при любых 
мы получим определенные значения для 
. Подставляя их в (88), будем иметь 
Однородным уравнениям 
будут соответствовать однородные системы:
Приравнивая определитель одной из этих систем (все равно какой) нулю, мы получим алгебраическое уравнение для определения характеристических значений. Если 
какой-либо корень этого уравнения, то система 
имеет решение 
отличное от нулевого, и, подставляя его в формулу
получим собственную функцию.
Доказанные выше теоремы сведутся в данном случае к известным теоремам линейной алгебры [III; 8, 9, 10, 15].
Отметим, что мы можем получить однородную систему 
и для неоднородного уравнения (87), если только все числа 
равны нулю, т. е.
Если при этом 
не есть характеристическое значение, то система (91 ±) даст нам только нулевое решение, и в силу (88) мы получим 
Это решение можно проверить непосредственной подстановкой его в (87), если принять во внимание (93). Вырожденными ядрами пользуются для приближенного решения интегральных уравнений, заменяя данное ядро близким к нему вырожденным ядром и затем с помощью указанного выше алгебраического аппарата решая полученное вырожденное уравнение. Этот метод приближенного решения интегральных уравнений, как и другие методы, изложены в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа» (1950 г.).
