ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Примеры составления интегральных уравнений.

Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Пусть ищется решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию Мы видели раньше [II; 51], что эта задача сводится к решению интегрального уравнения:

Совершенно так же задача интегрирования дифференциального уравнения порядка с начальными данными приводится к интегральному уравнению

Преобразуя двукратный интеграл в простой [II; 17], можем переписать это уравнение в следующем виде:

Общее решение уравнения получится из интегрального уравнения

где — произвольные постоянные, а нижний предел интегрирования мы положили равным нулю. Рассмотрим теперь для нашего уравнения второго порядка предельную задачу, а именно, будем искать решение уравнения, удовлетворяющее предельным условиям Полагая в уравнении (1) сначала

а потом получим два уравнения для определения произвольных постоянных, которые дадут нам

Подставляя найденные значения в формулу (1), приведем нашу предельную задачу к интегральному уравнению:

где

Мы можем переписать уравнение (2) в следующем виде:

Введем функцию двух переменных:

Уравнение (3) может быть переписано при помощи этой функции следующим образом:

Применим полученные результаты к линейному уравнению

Мы можем утверждать, что задача нахождения решения этого уравнения при предельных условиях

равносильна нахождению функции из линейного интегрального уравнения.

где

есть известная функция независимой переменной

Отметим, что в уравнении (1) верхний предел интегрирования переменный, тогда как в уравнении (8) оба предела интегрирования постоянны. Отметим еще, что как в уравнении (1), так и в уравнении (8) искомая функция входит не только под знак интеграла, но и вне знака интеграла. Это обстоятельство, как мы видели выше [II; 50], является существенным при применении к решению уравнения метода последовательных приближений.

Умножим коэффициент в уравнении (6) на некоторый параметр Я и рассмотрим однородное уравнение

при однородных предельных условиях:

Эта однородная предельная задача приведет нас к однородному интегральному уравнению, содержащему параметр X:

Одним из основных вопросов в дальнейшем будет вопрос о том, при каких значениях параметра X поставленная задача имеет решения, не равные тождественно нулю. Мы уже встречались с этой задачей раньше при применении метода Фурье к предельным задачам математической физики. Отметим еще некоторые характерные свойства функции , которая называется ядром нашего интегрального уравнения. Это ядро — непрерывная функция и квадрате определяемом неравенствами . На диагонали этого квадрата, т. е. при первая производная от ядра терпит разрыв:

Далее, упомянутое ядро, как функция от вне диагонали есть решение однородного уравнения , удовлетворяющее однородным предельным условиям (10). Отметим, наконец, свойство симметрии ядра, выражаемое равенством

Все эти свойства ядра непосредственно вытекают из формулы (4).

Ядро имеет простой физический смысл. Напомним, что при действии сосредоточенной силы в точке на струну,

закрепленную на концах, мы должны иметь в точке приложения силы условие [II; 176]:

где Р — величина действующей силы. Нетрудно проверить, что функция

дает форму статического прогиба струны под влиянием упомянутой выше сосредоточенной силы. Отметим при этом, что уравнение колебаний струны в статическом случае сводится просто к уравнению . Все эти идеи приведения предельной задачи к интегральному уравнению, изложенные нами здесь для простейшего случая, будут подробно развиты во 2-й части тома.

Укажем еще на один характерный метод приведения предельных задач математической физики к интегральному уравнению. Мы определили раньше потенциал сферического слоя следующей формулой:

где — заданная на поверхности сферы S функция, - элемент площади поверхности сферы и d — расстояние от переменной точки пространства М до переменной точки поверхности сферы. Пусть — направление нормали в некоторой точке сферы.

Обозначим через и предельные значения, которые имеет производная при приближении переменной точки М пространства к точке изнутри или извне сферы. Мы вывели раньше следующие формулы:

где d — расстояние от точки до переменной точки М сферы и — угол, образованный радиусом-вектором с направлением .

В следующей главе мы увидим, что эти формулы справедливы не только для сферы. Поставим теперь внутреннюю задачу Неймана для сферы, т. е. положим, что ищется функция, гармоническая

внутри сферы, нормальная производная которой имеет заданные предельные значения на поверхности сферы:

Будем искать функцию и в виде потенциала сферического слоя. Этот потенциал является гармонической функцией внутри сферы, и нам надо только подобрать плотность этого потенциала так, чтобы удовлетворялось и предельное условие (14). Принимая во внимание первую из формул (13) и предельное условие (14), мы получаем для определения искомой плотности следующее интегральное уравнение:

Заметим, что в данном случае функции должны быть определены на поверхности сферы, и интегрирование производится не по интервалу оси ОХ, как это было выше, а по поверхности сферы.