8. Уравнение Фредгольма при любом «лямбда».

Рассмотрим уравнение (54). Оно получилось из первого из уравнений (46) при помощи умножения на Уравнения (46) были нами получены лишь при условии (41) и, следовательно, мы можем утверждать, что обе части уравнения (54) совпадают при условии (41). Но в силу основного принципа аналитического продолжения, если две целые функции совпадают в некотором круге на плоскости комплексного переменного , то они совпадают и на всей плоскости комплексного переменного Деля обе части (54) на мы видим, что резольвента удовлетворяет первому из уравнений (46) при любых значениях , которые не обращают в нуль . В этом последнем случае отношение (57) теряет смысл. Точно так же, применяя аналитическое продолжение, мы убедимся, что резольвента удовлетворяет и второму из уравнений (46) при упомянутых значениях . Таким образом, если отлично от корня то мы имеем непрерывное решение обоих уравнений (46) и, применяя теорему существования и единственности из [6], получаем следующую теорему:

Теорема 1. Если значение не есть корень то уравнение (42) при любом имеет единственное решение, и это решение выражается формулой (45), где определяется формулой (57).

Рассмотрим теперь такое значение которое является корнем Может оказаться, что оно же является корнем и функции при любых Покажем сейчас, что кратность этого корня в числителе выражения (57) обязательно ниже его кратности в знаменателе, а отсюда будет следовать, что всякий корень является полюсом для резольвенты.

Теорема 2. Всякий корень функции является полюсом резольвенты.

Пусть есть корень кратности k, т. е.

Положим, что он же является корнем кратности l, т. е.

где — ряд, расположенный по целым положительным степеням , свободный член которого отличен от нуля при некоторых значениях s, t. Напомним, что производная имеет корень кратности Применяя формулу (59), получим

Левая часть имеет корень кратности а в правой части уже имеется множитель и, кроме того, может случиться,

что после интегрирования по s выделится еще целая положительная степень . Это рассуждение приводит нас к неравенству т. е. оказывается, что если и является корнем числителя выражения (57), то кратность этого корня во всяком случае ниже k, а потому вся дробь имеет полюс Заметим, что свободный член в разложении по степеням есть некоторая функция Она может обращаться в нуль при некоторых частных значениях s и но не равна нулю тождественно, ибо если бы это было так, то явилось бы корнем кратности выше I. Доказанную теорему мы можем сформулировать более точно так: найдутся такие значения s и при которых будет полюсом резольвенты.

Мы доказали, что всякий корень функции есть полюс резольвенты. Пусть это будет полюс кратности . В окрестности точки будем иметь разложение вида:

где коэффициент не равен тождественно нулю в

Из сказанного в конце [7] следует, что непрерывные в квадрате функции.

Подставляя последнее разложение в первое из уравнений (46), умножая обе части на и полагая затем получим

Таким образом, оказывается, что коэффициент как функция от при любом значении переменной t является решением однородного уравнения

Поскольку функция не есть тождественный нуль, мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема 3. Если есть корень то однородное уравнение (60) имеет решения, не равные тождественно нулю.

Таким образом, всякий корень является характеристическим значением интегрального уравнения, т. е. при этом однородное уравнение

имеет решения, отличные от нулевого. Если же не есть корень , то в силу теоремы 1 уравнение (42) при любом имеет единственное решение и, в частности, однородное уравнение (61) имеет при этом только нулевое решение. Иначе говоря, если — корень то это — характеристическое значение, а если — не корень то это не есть характеристическое значение. Мы получаем, таким образом:

Теорема 4. Характеристические значения интегрального уравнения суть корни

Целая функция может иметь лишь конечное число корней во всякой ограниченной области плоскости комплексного переменного т. е.

Теорема 5. Во всякой ограниченной области плоскости К может существовать лишь конечное число характеристических значений.

Отметим еще одну формулу, которая бывает полезной в приложениях. Положим, что свободный член уравнения (42) может быть представлен в виде

где некоторая функция.

Считая отличным от характеристического значения, получим согласно формуле (45) решение уравнения (42) в виде

Но второе из уравнений (46) дает нам

подставляя это в предыдущую формулу, мы получаем окончательно следующее простое выражение для решения уравнения (42):

если свободный член уравнения определен формулой (62).