43. Теорема Мерсера.

Приведем формулировку теоремы.

Теорема. Если есть положительное или отрицательное непрерывное ядро, то его ряд Фурье по собственным функциям сходится регулярно в квадрате

Будем считать ядро положительным и вещественным. Докажем сначала неравенство

Действительно, если бы на диагонали квадрата существовала такая точка в которой , то существовала бы такая окрестность упомянутой точки что во всей этой окрестности . Мы можем определить такую непрерывную функцию , которая имеет положительные значения в промежутке с и равна нулю везде вне этого промежутка. Для этой функции будем иметь;

что противоречит положительности ядра. Образуем ядро

Его характеристические значения положительны. Применяя к этому ядру только что доказанный факт, получим

Отсюда непосредственно следует, что ряд с положительными членами сходится при всяком значении s и что его частичные суммы при любом значении s из промежутка остаются меньше положительного числа М. Применяя неравенство Коши, можно написать так:

или

и отсюда в силу сходимости ряда непосредственно следует, что ряд (201) сходится регулярно по t в промежутке при фиксированном s. Совершенно аналогично доказывается регулярная сходимость по s при фиксированном t.

Из доказанного следует:

причем в силу теоремы Дини ряд сходится равномерно, и из неравенства (274) следует регулярная сходимость ряда

в и т. д.