117. Постановка задачи о минимуме квадратичного функционала.

Пусть — ограниченные измеримые в функции. Предположим, что квадратичная форма с коэффициентами равномерно положительно определена в т. е. для любых вещественных выполнено неравенство

где а — постоянная (не зависит от ). В силу ограниченности выполнено также неравенство вида

где — постоянная. Рассмотрим на функциях класса функционал

Из (36) и (37) следует

и, принимая во внимание можем написать:

где положительная постоянная.

Наряду с будем рассматривать соответствующее билинейное выражение

где

Лемма 1 Функционалы непрерывны относительно сходимости в

Доказательство. Пусть при Нам нужно показать, что тогда причем достаточно установить второе соотношение, т. е.

Докажем это соотношение. Из L и из ограниченности вытекает, что при . Кроме того, L при Ввиду этого (42) следует из непрерывности скалярного произведения пространства

Пусть некоторая фиксированная функция. Введем в рассмотрение функционал

Лемма 2. Функционал непрерывен и ограничен снизу в .

Непрерывность следует из леммы 1 о непрерывности и непрерывности в функционала

Последнее вытекает из того, что сходимость в влечет сходимость в , а относительно последней сходимости функционал непрерывен [II; 162].

Проверим ограниченность снизу. Из (39) и (32) имеем

Лемма доказана.

Теперь имеет смысл рассмотрение следующего вопроса. На функциях класса функционал определен и имеет конечную точную нижнюю границу. Достигается ли эта нижняя граница на какой-либо функции класса . В следующем пункте мы покажем, что этот вопрос решается положительно.