114. Свойства обобщенных производных.

Укажем свойства обобщенных производных; некоторые из них легко вытекают из данных определений, а другие будут доказаны в томе V.

Если есть обобщенная производная в то она является обобщенной производной и в любой подобласти области . Это следует непосредственно из второго определения. Если из имеет обобщенную производную

из обобщенную производную

то и имеет обобщенную производную

из . Это следует из первого определения.

Свойства обобщенных производных будут подробно исследованы в томе V. Отметим без доказательства некоторые из них.

Если функция одной независимой переменной непрерывна в конечном промежутке и внутри него имеет обобщенную производную из то имеет вид

При этом имеет почти везде в обычную производную, равную (эквивалентную) обобщенной производной Если функция суммируема на промежутке определена формулой

то непрерывна на и почти везде имеет обычную производную . Функции, представимые формулой вида (21), называются обычно абсолютно непрерывными на Отметим, что данные выше два определения обобщенных производных могут формулироваться не в и формула (21), если суммируема на определяет класс функций, непрерывных в и имеющих внутри этого промежутка

обобщенную производную из :

Не всякая непрерывная на функция абсолютно непрерывна. Справедливо и следующее утверждение: не всякая непрерывная на функция, имеющая почти везде в производную, абсолютно непрерывна. Можно показать, что существуют непрерывные в функции, которые ни в одной точке внутри не имеют производной. Они тем самым не имеют и обобщенной производной. Составим функцию двух переменных где - функции только что указанного типа. Функция и не имеет обобщенных производных первого порядка, но имеет, как нетрудно показать, обобщенную производную Сформулируем теперь один общий результат, касающийся обобщенных производных. Если функция и и имеет все обобщенные производные порядка l из то она имеет все обобщенные производные порядка, меньшего l, также принадлежащие

При этом граница области не должна быть слишком плохой. Достаточно, например, чтобы она была гладкой. В томе V будет описан более широкий класс областей, для которых это имеет место.

Можно, кроме понятия обобщенной производной, определить обобщенное выражение для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. В качестве примера рассмотрим оператор второго порядка

Составим новый оператор

В общем случае линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами оператор отличается от знаком при производных нечетного порядка. Если функция и имеет в области непрерывные производные, входящие в выражение оператора принадлежит то с помощью формулы (14) нетрудно доказать равенство

Для суммируемых в области функций обобщенное выражение оператора определяется равенством

где любая функция из

Это определение не предполагает, что для и определены отдельные производные, входящие в Если все они существуют, то можно из них составить согласно формуле (22). Отметим, что в соответствии с данным выше определением обобщенное решение уравнения можно определить формулой где любая финитная бесконечно дифференцируемая в функция.