98. Функция Вейештрасса.

В настбящем параграфе мы приведем некоторые результаты, касающиеся сильного экстремума Отметим прежде всего, что если для некоторой экстремали выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то это экстремаль можно окружить полем экстремалей. Положим, что мы имеем на плоскости некоторое поле экстремалей, покрывающее область В плоскости Угловой коэффициент у экстремали нашего поля, как мы уже говорили выше, будет функцией точки в области В. Введем для этой функции специальное обозначение (функция наклона поля) Пусть основная функция поля, ее полный дифференциал выражается формулой

причем в данном случае прежнюю букву мы заменяем обычной буквой d Отсюда непосредственно следует, что криволинейный интеграл от правой части формулы (223) не зависит от пути внутри области В. Этот интеграл можно записать в виде

он называется обычно инвариантным интегралом Гильберта Если за кривую мы возьмем некоторую экстремаль поля, то вдоль этой экстремали имеется равенво и интеграл (224) приводится к основному интегралу.

После этих предварительных указаний перейдем к выводу основной формулы, дающей выражение приращения основього функционала J. Пусть — некоторая экстремаль этого функционала, соединяющая точки и положим, что эту экстремаль можно окружить полем, покрывающим некоторою область В плоскости Пусть - какая-либо другая кривая с непрерывно меняющейся касательной, соединяющая те же точки и лежащая в области В. Обозначим через значение основного функционала (225) для линий и Величина , как мы видели выше, совпадает с величиной интеграла (224), взятого по , а этот последний интеграл не зависит от пути, и мы можем взять его не по экстремали а по кривой I. Мы имеем, таким образом,

и, следовательно, получаем такое выражение для разности

Напомним, что в этом выражении есть наклон поля, есть угловой коэффициент касательной к кривой Введем в рассмотрение следующую функцию четырех переменных:

которая называется обычно функцией Вейерштрасса для функционала (225). Пользуясь введенной функцией, мы можем переписать формулу (227) в виде

Написанная формула является основной формулой при исследовании достаточных условий экстремума. В частности, пользуясь этой формулой, можно показать, что для того, чтобы экстремаль давала сильный минимум функционалу (225), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали при любых значениях переменной выполнялось неравенство:

Из формулы (228) непосредственно вытекает следующая теорема, дающая уже достаточное условие сильного минимума для того чтобы экстремаль при закрепленных концах давала сильный минимум, достаточно, чтобы ее можно было окружить полем и чтобы существовала такая окрестность в каждой точке которой при любом значении переменной выполнялось бы неравенство

где как и выше, функция наклона поля. Так как мы пользуемся явным уравнением кривых, то при окружении экстремали полем необходимо потребовать, чтобы семейство экстремалей, образующих поле, имело явное уравнение , где функция обладает непрерывными производными до второго порядка.

Разлагая разность , входящую в функцию Вейерштрасса, по формуле Тейлора до второй степени разности мы можем написать функцию Вейерштрасса в виде

где заключается между . Отсюда непосредственно вытекает, что для положительности функции Вейерштрасса достаточно потребовать, чтобы при любом значении имело место неравенство Отсюда получается более простое достаточное условие сильного минимума, а именно, для того, чтобы экстремаль при закрепленных концах давала сильный минимум, достаточно, чтобы ее можно было окружить полем, в каждой точке которого при любом значении выполняется неравенство

Доказательство всех высказанных в настоящем параграфе теорем можно найти в курсе М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника.

Указанные выше рассуждения проводятся и для случая функционала от нескольких функций

где суть векторы с составляющими. Вводя вектор наклона гголя

где можем записать формулу, аналогичную (223), в виде

и соответственным образом перепишется формула (226). Функция Вейерштрасса в рассматриваемом случае будег иметь вид

и аналогично предыдущему формулируется достаточное условие сильного экстремума функционала (232).