24. Линейные ограниченные операторы в L2.
Систематическое изучение теории линейных операторов будет проведено в томе V. Здесь мы вкратце остановимся на простейших свойствах таких операторов.
Рассмотрим интегральный оператор
считая пока для простоты ядро непрерывным. В [4] было доказано, что оператор (153) преобразует любую функцию 
из класса 
в непрерывную функцию v(s). Эту последнюю можно также рассматривать как элемент пространства 
Таким образом, интегральный оператор (153) сопоставляет функции из 
функцию, также принадлежащую 
или, как говорят, является оператором в 
. Связь между u и v условимся кратко записывать в виде 
Оператор (153) обладает свойством линейности:
Выведем еще одно важное свойство оператора К? Обозначим через М наибольшее значение функции 
в квадрате 
Оценивая подынтегральное выражение в (153), а затем применяя неравенство Буняковского, находим
Возводя в квадрат и интегрируя, получаем 
или
Таким образом, мы доказали неравенство
где 
. Любой линейный оператор, для которого, при некоторой постоянной 
, выполнено неравенство (154),
называется ограниченным. В [25] будет указано более слабое, чем непрерывность ядра, условие ограниченности интегрального оператора вида (153). Заметим, что не всякий линейный ограниченный оператор в 
является интегральным. Примером может служить тождественный оператор, действующий по формуле 
В неравенстве (154) число С, очевидно, можно заменить на любое большее. Определим 1 наименьшее возможное значение С. для данного оператора К. Пусть мы имеем
Если 
то норма элемента 
равна единице и, следовательно,
и мы получаем неравенство (154), т. е., неравенства (154) и (155) эквивалентны. Множество неотрицательных чисел 
при 
имеет точную верхнюю границу, которая в силу (155) и является наименьшим возможным значением С. Она обозначается 
или 
и называется нормой оператора К:
Для оператора (153) с непрерывным ядром
Если 
, то оператор К превращает любой элемент из 
в нулевой элемент (оператор аннулирования). Норма тождественного оператора 
очевидно, равна единице.
Всякий линейный ограниченный оператор К непрерывен, т. е. для любой последовательности элементов 
будет 
. В самом деле,
Линейные ограниченные операторы можно складывать и умножать:
причем произведение зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей. Нетрудно проверить, что
При возведении в целую положительную степень имеем
