ГЛАВА II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

70. Постановка задач.

Рассмотрим некоторые конкретные задачи, выясняющие предмет вариационного исчисления. Пусть имеется неоднородная изотропная среда, в каждой точке которой определена скорость , не зависящая от направления. Рассчитаем время, необходимое для того, чтобы точка, двигаясь с указанной выше скоростью, описала некоторую линию I. Элемент пути будет пройден за время а для прохождения всей линии потребуется промежуток времени, выражаемый интегралом

Закрепим крайние точки линии l, а самую линию будем менять. Величина Т будет при этом меняться в зависимости от l. При этом говорят, что Т есть функционал от. линии l. При определенном выборе l функционал Т будет иметь определенное численное значение. Одной из задач геометрической оптики является следующая задача: при закрепленных концах определить l так, чтобы функционал Т имел наименьшее значение. Положим, что в уравнении линии l мы приняли за параметр, так что у и суть функции от При этом интеграл (1) запишется в виде

где — производные от упомянутых выше функций. Задача сводится к разысканию функций таких, чтобы интеграл (2) имеет наименьшее значение, причем искомые функции должны удовлетворять следующим предельным условиям:

В случае плоскости функционал (2) будет иметь вид

и задача сведется к нахождению одной функции удовлетворяющей двум предельным условиям:

Рассмотрим теперь задачу для кратного интеграла. В пространстве задана замкнутая кривая требуется натянуть на нее такую поверхность, которая имела бы наименьшую площадь. Пусть - проекция l на плоскость — область, ограниченная . Уравнение искомой поверхности представим себе в явной форме При этом площадь поверхности будет выражаться интегралом

где частные производные от по х и у.

При определенном выборе поверхности величина S будет иметь определенное значение, и мы имеем здесь функционал от поверхности. Задача сводится к такому выбору функции при котором S имеет наименьшее значение. Предельным условием в данном случае является задание значений искомой функции на контуре . Эти значения должны давать ординаты z того контура на который должна быть натянута поверхность.

Основной задачей вариационного исчисления и является разыскание наибольших и наименьших значений функционалов от линий и поверхностей, выражаемых некоторыми определенными интегралами. Эта задача аналогична задаче дифференциального исчисления об отыскании наибольших и наименьших значений некоторой функции. Как мы знаем, эта последняя задача непосредственно связана с задачей разыскания экстремумов функции, а именно, — разыскиваются такие значения независимых переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со всеми достаточно близкими значениями. Аналогичным образом мы будем рассматривать задачу и для функционалов. Так, например, в случае функционала (2) мы будем искать такую линию чтобы Т имело для этой линии значение не большее, чем для всех линий, к ней достаточно близких. Если функционал для некоторой линии или поверхности имеет значение не меньшее (или не большее), чем для всех близких к ней линий или поверхностей, то говорят просто, что для этой линии или поверхности функционал имеет экстремум.

В дальнейшем мы дадим точную постановку задачи и определим понятие близости для линий и поверхностей, которые играют роль независимых переменных обычного дифференциального исчисления. Мы знаем, что для нахождения тех значений при которых функция достигает экстремума, нам необходимо решить уравнение f(x) = 0. В вариационном исчислении доказывается, что линия или поверхность дающая экстремум некоторому функционалу, должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению. Нашей первой задачей является построение этих дифференциальных уравнений. Удовлетворение этим уравнениям представляет собой необходимое условие экстремума функционала, совершенно так же, как равенство является необходимым условием того, чтобы заданная функция имела экстремум при некотором значении Для вывода упомянутых уравнений нам понадобятся две леммы, которые мы изложим в следующем пункте.