118. Решение вариационной задачи.

Пусть . Легко проверяется, что

Обозначим через d точную нижнюю границу для на функциях и класса и пусть - минимизирующая последовательность

Заменим в на на , где -вещественный параметр. Учитывая, что мы получим неравенство

Поскольку квадратный трехчлен (47) неотрицателен, должно выполняться неравенство

Замечая, что

мы получим из (48) соотношение

Полагая здесь затем сокращая на и возводя в квадрат, убедимся в справедливости неравенства

Оно вместе с (40) дает нужное неравенство

Лемма 3. Минимизирующая последовательность сходится в

Действительно, из (49) и (46) вытекает, что

а поскольку полнота класса установлена, из (50) следует существование такой функции что

Лемма 4. Пусть - предел минимизирующей последовательности. Тогда для любой функции будет

Доказательство сводится к переходу к пределу в неравенстве (48), что возможно в силу леммы 1.

Теперь можно доказать основное утверждение.

Теорема. Существует единственная функция класса на которой достигается точная нижняя граница функционала .

Пусть предел минимизирующей последовательности, и Тогда, заменяя в на и учитывая (51), получим

Заметим теперь, что и в силу (40) из равенства вытекает, что . Поэтому

причем знак равенства возможен лишь при Теорема доказана.

Замечания. 1) Из единственности минимизирующей функции вытекает, что к ней сходится всякая минимизирующая последовательность. 2) Мы видели, что минимизирующая функция удовлетворяет соотношению (51) при любой Обратно, если (51) выполнено, то из (52) следует, что - минимизирующая функция. Таким образом, соотношение (51) можно рассматривать как уравнение в вариациях, определяющее причем оно эквивалентно исходной вариационной задаче. Тождество (51) есть условие обращения в нуль первой вариации функционала при .