39. Разложение повторных ядер.

Будем считать ядро непрерывным (и симметричным). Тем самым и все повторные ядра — непрерывны. Из формулы

мы видим, что как функция от s представима через ядро, причем роль играет функция есть параметр. Как мы видели выше, коэффициенты Фурье по отношению к системе функций (198) равны , и, таким образом, теорема 2 из [32] дает:

Формула эта доказана (на основании теоремы 2) при любом s из и при любом t из того же промежутка, т. е. эта формула справедлива во всем квадрате Напомним формулу [5]:

Из (245) следует, что коэффициенты Фурье как функции

s равны коэффициентам Фурье как функции деленным на . Для это для это и т. д.

Вообще для это и теорема 2 дает:

причем, как и выше, ряд сходится в Исследуем характер сходимости этих рядов.

В силу теоремы 2 мы можем утверждать регулярную сходимость написанных рядов по отношению к переменной s в промежутке при любом фиксированном значении t из того же промежутка. В силу симметрии мы будем иметь регулярную сходимость и по огношению к переменной t при фиксированном s. Докажем, что ряды будут регулярно сходящимися по отношению к обеим переменным в квадрате . Достаточно провести доказательство для ряда (244) Для остальных рядов доказательство тем более сохранит свою силу, ибо . Применяя очевидное неравенство

мы видим, что достаточно доказать, что ряд У равномерно сходится в промежутке . Этот последний ряд получается из ряда (244) при и, следовательно, его сумма равна

Члены написанного ряда суть неотрицательные непрерывные функции, его сумма — непрерывная функция в промежутке так что равномерная сходимость этого ряда непосредственно вытекает из теоремы Дини.

Приведем некоторые следствия из полученных формул. Полагая в формуле и интегрируя по s, получим, принимая во внимание нормированность функций выражение для так называемых следов повторных ядер через характеристические значения основного ядра:

Принимая во внимание (243), можно написать

и формула (247) при приводит нас к равенству:

Формула (246) может оказаться несправедливой при . Мы покажем сейчас, что при любом фиксированном s из

равномерно относительно s в . Для доказательства рассмотрим разложение как функции t, по ортонормированной системе . Коэффициенты Фурье равны и мы имеем

Но мы видели, что

и согласно (244)

и при том, как мы видели, равномерно относительно s. Отсюда следует, что предел (249) имеет место равномерно относительно s Положим, что ряд (201) сходится равномерно относительно t в промежутке при фиксированном s, и обозначим через его сумму. Переходя в (249) к пределу, получим

откуда следует, что т. e. для доказательства формулы (202) не надо предполагать равномерной сводимости ряда по отношению к обеим переменным в квадрате , а достаточно лишь предположить, что ряд равномерно сходится относительно одной из переменных при любом фиксированном значении другой переменной.

Рассмотрим разность

как ядро некоторого интегрального уравнения

и докажем, что числа функции представляют собой полную совокупность характеристических чисел и собственных функций уравнения (251). Умножим обе части (250) на , где и проинтегрируем по t. Принимая во внимание ортогональность функций получим

или, принимая во внимание, что - собственная функция ядра соответствующая характеристическому значению

Мы видим, таким образом, что уравнение (251) имеет те же характеристические значения и соответствующие собственные функции при что и основное уравнение. Остается показать, что это есть полная система характеристических значений и собственных функций уравнения (251). Умножим обе части (250) на , где Принимая во внимание ортогональность и нормированность функций получим

Разность, стоящая в правой части, равна нулю, ибо есть собственная функция ядра соответствующая характеристическому значению т. е.

Пусть — некоторое характеристическое значение уравнения (251) и соответствующая собственная функция. Умножая обе части (251) на и принимая во внимание (252), получим

Подставляя в (251) вместо его выражение (250) и принимая во внимание формулы (252), можем записать (251) в виде

т. е. является собственной функцией основного ядра, в силу (253), ортогональной ко всем при , а отсюда следует, что к совпадает с одним из при является с точностью до постоянного множителя одной из функций при или их линейной комбинацией в случае характеристического значения ранга больше единицы Таким образом, наше утверждение о характеристических значениях и собственных функциях ядра доказано.

Из (246) следует, что ядра симметричны. Это видно также непосредственно из их определения. Легко доказать, что суть все характеристические значения и собственные функции уравнения

Если ядро слабо полярно, то есть непрерывная функция [20], и мы имеем разложения (246).

Положим, что ядро удовлетворяет условию

из которого следует

В силу неравенства Коши получим

и можем утверждать, что при условии (254) повторные ряды (246) сходятся регулярно в при