63. Преобразование Фурье в L2. Полиномы Эрмита.

Приведем основные результаты, касающиеся преобразования Фурье в классе на промежутке Введем для краткости новое обозначение. Если

то будем писать

Если из на промежутке то она может и не принадлежать на этом промежутке, но принадлежит на любом конечном промежутке [II; 161]. Преобразование Фурье для класса определяется формулой

причем доказывается, что существует предел, стоящий в правой части, для любой функции из тоже из Обращение формулы (424) имеет тот же вид:

Отсюда следует, что только одновременно могут быть эквивалентны нулю. Формулы (424) и (425) устанавливают биоднозначное соответствие между функциями из на промежутке и соответствующие функции имеют одинаковую норму в , т. е.

и если — преобразования Фурье функций из то

Далее, пользуясь последней формулой, неравенством Буняковского и тем фактом, что произведение двух функций из принадлежит можно показать, что для свертка (418) выполнима при всех причем при всех имеет место формула

откуда следует, что равномерно непрерывна при при

Если одна из функций принадлежит , а другая , то принадлежит 12.

Особую роль при преобразовании Фурье играют функции Эрмита, определенные формулой [III; 160]:

где полином степени (полином Эрмита). Функции образуют ортогональную систему на промежутке Пусть Т — оператор преобразования Фурье

Докажем, что функции Эрмита суть собственные функции этого оператора, соответствующие собственным значениям . Отметим, что непрерывные функции, абсолютно интегрируемые по промежутку как с первой степенью, так и с квадратом. Нам надо доказать, что

т.е. формулу

Интегрируем по частям и учитываем обращение в нуль внеинтегральных членов:

Умножаем вне знака интеграла на и под знаком на

Дифференцируя по параметру а, легко доказать, что последний интеграл равен , и, таким образом, формула (428) доказана. Точки суть точки спектра, а собственные функции, соответствующие значению

Наметим доказательство того, что ортогональные на промежутке функции Эрмита образуют полную (замкнутую) систему. Положим, что существует функция со из ортогональная ко всем функциям Эрмита. Поскольку степени выражаются линейно через первые полиномов Эрмита , отсюда следует, что

Мы можем, очевидно, предполагать вещественной. Нам надо доказать, что эквивалентна нулю.

Мы имеем очевидную оценку

где — фиксированное положительное число и постоянная С зависит от выбора . Составим функцию комплексного переменного и определенную в полосе , где

Мы имеем

и правая часть интегрируема, как произведение двух функций из . Функция регулярна в упомянутой полосе и для производных мы имеем

и в правой части оценки (430) добавится множитель который погасится множителем и интеграл будет сходиться равномерно относительно в упомянутой полосе. Это дает возможность дифференцировать по под знаком интеграла. Из (431) получаем

и в силу (429) все производные в упомянутой полосе, а следовательно, тождественно равна нулю в этой полосе и тем самым на вещественной оси:

т. е. преобразование Фурье функции

тождественно равно нулю, откуда следует, что эта функция эквивалентна нулю, а поэтому и эквивалентна нулю. Совершенно аналогично доказывается, что функции Лагерра образуют замкнутую на промежутке систему.

64. Интегральное уравнение Фурье. Мы переходим теперь к рассмотрению интегральных уравнений с бесконечным промежутком интегрирования. В этом случае могут оказаться несправедливыми основные теоремы Фредгольма, полученные нами выше. Наиболее простым случаем являются интегральные уравнения, связанные с формулой Фурье. Напомним [II; 173] ранее доказанную формулу Фурье. Если непрерывная и абсолютно интегрируемая в промежутке функция, и в любой конечной части этого промежутка имеет конечное число промежутков возрастания и убывания, то, строя функцию

можно выразить по формуле

Складывая две предыдущие формулы, получим

т. e. при любом выборе с указанными выше свойствами функция является собственной функцией интегрального уравнения

соответствующей характеристическому значению . Если, например, положить , то

и мы получаем при бесчисленное множество решений уравнения (432)

зависящих от выбора параметра .