20. Интегральные уравнения с регулярным повторным ядром.

Мы рассмотрим сейчас произведение двух интегральных операторов с полярным ядром в линейном случае Подробное доказательство для любого числа измерений будет дано в томе V. Пусть два полярных ядра имеют вид

где непрерывны в Произведение этих операторов есть интегральный оператор с ядром

Докажем, что непрерывна в вне диагонали Пусть и предположим, что точка внутри Разделим промежуток на две части такие, что

содержит точку точку строго внутри себя. Выберем достаточно малое такое, что промежутки находятся строго внутри . Промежуток интегрирования разобьем на пять промежутков:

Интегралы по сколь угодно малы по абсолютной величине при соответствующем выборе , а интегралы по остальным промежуткам — непрерывные функции

Отсюда следует, что непрерывна в вне диагонали Если точка находится на стороне то доказательство аналогично.

Рассмотрим теперь, по-прежнему считая два случая:

I. Обозначим и введем новые координаты

так что Мы будем иметь

В последнем интеграле поместим начало оси в точку s и направим ось из s в f. При этом получим

Последний интеграл сходится, ибо а и и не зависит от s и t, т. е.

и

где непрерывна при как доказано выше, и в силу ограничена.

II. . Отметим, что при этом интеграл (126) сходится и при Покажем теперь, что имеет место неравенство

Действительно, умножим обе части на и обозначим Нетрудно видеть, что

ибо при а при Таким образом, для ядра при а имеем неравенство

в правой части которого интегралы сходятся равномерно относительно Отсюда легко заключить, что несобственный интеграл

равномерно сходится во всем квадрате включая диагональ и следовательно, ( - непрерывная в функция. Рассмотрим теперь степени для оператора с полярным ядром

Для оператора ядро имеет вид

На основании сказанного выше для ядер показатели полярности ядра будут соответственно Пусть — такое натуральное число, что

Тогда ядро интегрального оператора непрерывно в Отметим, что степень есть не что иное, как повторное итерированное ядро Выше мы не рассматривали случай Этот случай всегда можно исключить, немного изменяя а или . Это можно сделать, умножая числитель и знаменатель ядра на где достаточно малое число. При оценка имеет вид

В томе V мы рассмотрим многомерный случай в полном объеме. Укажем здесь только результат. Пусть в -мерном пространстве имеется композиция полярных ядер:

где расстояние между точками Р и R и между R и непрерывны

в ограниченной области В -мерного пространства. Ядро непрерывно, если Р отлично от Q, и имеет оценку:

где — расстояние между Р и Q. Если то непрерывно в замкнутой области В.

Рассмотрим однородное уравнение с полярным ядром

Подставляя вместо его выражение из правой части, получим

Продолжая так и дальше, будем иметь

Положим, что уже регулярное ядро.

Очевидно, что всякое решение уравнения (127) есть и решение уравнения (128). Но последнее может иметь только конечное число характеристических значений во всякой ограниченной области плоскости К, ранг характеристического значения конечен, и решение уравнения с регулярным ядром непрерывно. Следовательно, то же мы можем утверждать и относительно уравнения (127).

Можно показать, что всякая собственная функция уравнения (128) (если — характеристическое значение) есть линейная комбинация собственных функций уравнений