78. Условный экстремум.

Будем рассматривать теперь такие задачи, в которых дополнительные условия имеют вид, отличный от (58). Начнем с простейшей задачи. Найти две функции дающие экстремум интегралу

и удовлетворяющие уравнению

и предельным условиям закрепления на концах:

причем координаты должны, очевидно, удовлетворять уравнению (64).

Геометрически дело сводится к нахождению линий, лежащих на поверхности (64) и дающих экстремум интегралу (63). Можно было бы из уравнения (64) определить z как функцию от х и у и вставить эту функцию в интеграл (63); тогда мы пришли бы к обычной задаче вариационного исчисления без всяких дополнительных условий с одной искомой функцией Используем это замечание для вывода того уравнения, которому должны удовлетворять функции дающие решения поставленной задачи. Будем считать, что вдоль этого решения частная производная отлична от нуля. При этом уравнение (64) будет разрешимо относительно z, и мы получим После подстановки этого выражения в интеграл (63) он примет вид

Плоская кривая являющаяся проекцией нашей пространственной кривой на плоскость должна давать экстремум интегралу (65) при закрепленных концах и, следовательно, она должна удовлетворять уравнению Эйлера, написанному для этого интеграла. Произведем предварительные вычисления для составления этого уравнения. Обозначим через подынтегральную функцию в интегралё (65). Эта функция зависит от Через F без квадратных скобок мы обозначаем прежнюю

функцию , так что получается из F в результате подстановки Мы имеем

Уравнение Эйлера для интеграла (65):

в силу написанных выше формул, приведется к виду

Из уравнения (64) следует равенство

Подставляя его в предыдущее равенство, получим

Вдоль линии дающей, по условию, экстремум функционалу (63) при условии (64), дробь, входящая в последнее равенство, есть некоторая функция от

и два последних равенства приводят к дифференциальным уравнениям для не содержащим производной функции :

Таковы необходимые условия на для того, чтобы они давали экстремум функционалу (63) при условии (64). Нетрудно видеть, что последние уравнения можно записать в виде

где

т. е. экстремали рассматриваемой задачи должны быть безусловными экстремалями интеграла с подынтегральной функцией F. Заметим, что в рассматриваемой задаче вместо постоянного множителя изопериметрической задачи мы имеем множитель зависящий от Исключив из (64) и (66) функции , мы получим уравнение второго порядка для Две произвольные постоянные определятся из предельных условий для

Связи (64), не содержащие производных от искомых функций, называются обычно голономными связями. Высказанное выше утверждение оказывается справедливым и для функционала (23), зависящего от нескольких функций, для случая неголономных связей вида:

т. е. при некоторых дополнительных условиях функции дающие экстремум интегралу (23) при условиях (67), должны удовлетворять уравнениям:

где

Система (68) обладает одним существенным отличием от аналогичной системы для случая голономных связей. Так как функции (67) в рассматриваемом случае содержат производные то функции будут содержать и уравнения (68) будут содержать производные от по Окончательно уравнения (67) и (68) дадут систему дифференциальных уравнений с неизвестными функциями у, и второго порядка относительно и первого — относительно

Введем в рассмотрение функции определенные равенствами:

После такой замены уравнения (67) дадут голономных связей для функций и а (68) и (70) обращаются в систему уравнений первого порядка с функциями Решив (67) относительно каких-либо из функций и и подставив их выражение в уравнения (68) и (70), получим уравнений первого порядка для из функций Общее решение этой системы будет содержать произвольных постоянных, которые должны определяться из граничных условий.