91. Теорема Якоби.

Если мы полностью проинтегрируем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (175), то можем, конечно, строить всевозможные поля, соответствующие данной вариационной задаче, и тем самым можем найти любое решение уравнения (176). Мы вернемся к этому вопросу во второй части настоящего тома, когда будем излагать теорию уравнений с частными производными первого порядка. Наоборот, если мы умеем находить решения уравнения (176), то, как сейчас покажем, мы

сможем построить общий интеграл системы (175). Необходимо только уточнить, какой смысл имеет наше утверждение, что мы умеем находить решения уравнения (176). Это уравнение должно определить функцию от независимых переменных . Оно не содержит самой функции , и потому, добавляя к любому его решению произвольное постоянное слагаемое а, мы получим так же решение уравнения. Назовем полным интегралом этого уравнения такое его решение, которое, кроме указанной выше постоянной а, содержит еще произвольных постоянных

причем мы считаем, что определитель, элементами которого являются частные производные второго порядка отличен от нуля. Как оказывается, знание полного интеграла уравнения (176) дает нам возможность при помощи простых дифференцирований построить общий интеграл системы (175), а именно, имеет место следующая теорема Якоби:

Если известен полный интеграл (182) уравнения (176), то равенства

где произвольные постоянные, дают решение системы (175), зависящее от произвольных постоянных.

В силу сделанного предположения, что определитель отличен от нуля, мы можем решить уравнения (183) относительно причем переменные выразятся через независимую переменную и произвольные постоянные . Подставляя эти выражения в левые части уравнений мы получим выражения также через и нам надо показать, что полученные таким образом выражения удовлетворяют системе (175). Дифференцируя уравнения (183) по и уравнение (176) по получаем равенств:

откуда следуют n равенств:

Согласно условию , откуда непосредственно следует, что Для доказательства справедливости остальных уравнений системы (175) мы дифференцируем уравнения по и уравнение (176) по

Вычитая почленно и пользуясь уже доказанными равенствами, мы и получим остальные уравнения системы (175).

Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения (176) дает общий интеграл системы (175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой (175) и уравнением (176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансверсальных поверхностей этого поля.