55. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

В данном случае и

причем вещественная часть s считается положительной. Формула (340) дает

и в силу уравнения (351) резольвента определяется равенством:

где а — любое достаточно большое вещественное число.

Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру плоскости состоящему из отрезка прямой , где и полуокружности, лежащей слева от этой прямой и имеющей центр в точке пересечения этой прямой с вещественной осью. Вводя в интеграл (352) вместо s новую переменную интегрирования по формуле: мы получим на плоскости переменной контур интегрирования, состоящий из отрезка вещественной оси и полуокружности с центром в начале. Пользуясь хотя бы леммой Жордана и тем, что убедимся, что интеграл по полуокружности будет стремиться к нулю при стремлении ее радиуса к бесконечности, и отсюда

непосредственно следует, что величина интеграла (352) при равна сумме вычетов подынтегральной функции в точках т. е.

и решение уравнения (351) в силу (338) может быть написано в таком виде:

2. Для уравнения

мы имеем и, следовательно:

откуда

Применяя, как и в предыдущем примере, теорему о вычетах, получим

и решение уравнения (353) будет

3. Мы имели следующую формулу, содержащую функцию Бесселя [III; 154]:

откуда следует

Принимая во внимание асимптотическую оценку функций Бесселя из мы можем утверждать, что формула (354) справедлива, если вещественная часть s положительна.

Рассмотрим интегральное уравнение

В данном случае и в силу (354)

так что резольвента определится по формуле

или

Второй из написанных интегралов может быть вычислен, как и выше, по теореме о вычетах. Займемся преобразованием первого интеграла. Наряду с формулой (354) совершенно так же можно доказать при целом положительном формулу

и, интегрируя это равенство по а от до получим

С другой стороны, применяя теорему о вычетах, получим

Мы можем, таким образом, написать

Применяя теорему о свертке [52], получим

и, следовательно, для интеграла, входящего в выражение получим

и резольвента уравнения (355) будет иметь выражение:

4. Рассмотрим уравнение первого рода:

Совершая над обеими частями уравнения одностороннее преобразование Лапласа, получим

и

5. Рассмотрим уравнение:

Принимая во внимание, что

мы получим

и, следовательно,

или, принимая во внимание первую из формул (358),

т. е. подставляя это решение в уравнение (357), получаем формулу

6. Рассмотрим еще ядро, которое обращается в бесконечность при t = x,

и построим соответствующую этому ядру резольвенту, причем мы не будем входить в обоснование применимости указанного выше метода в рассматриваемом сингулярном случае.

Вычисляем

и для резольвенты получаем выражение:

где — достаточно большое положительное число.

Разлагая в ряд, получим

и все сводится к вычислению интеграла:

Совершая подстановку видоизменяя соответствующим образом контур и пользуясь формулой (154) из получим

откуда