82. Геодезические линии в n-мерном пространстве.

Пусть в -мерном вещественном пространстве определена некоторая метрика

где суть заданные функции аргументов . Эти функции мы считаем непрерывными с их частными производными первого порядка. Задание метрики (106) равносильно тому, что длина кривой выражается интегралом

причем мы считаем выражение, стоящее под радикалом, положительным при любых значениях и если не все нули, т. е. мы считаем, что заданная квадратичная форма (106) определенно положительна. Мы имеем, конечно, право считать, что коэффициенты и стоящие при одинаковых произведениях дифференциалов, также одинаковы, т. е. —

Геодезическими линиями называются экстремали интеграла (107). Это понятие является непосредственным обобщением понятия геодезической линии на заданной поверхности, о котором мы говорила, выше. Обозначим, для краткости, через сумму, стоящую под знаком радикала:

Мы имеем для экстремалей следующие уравнения Эйлера:

Одно из уравнений этой системы есть следствие остальных, и мы добавим еще одно уравнение, а именно:

и пусть s — то значение параметра которое определяется этим дополнительным уравнением. Из (107) непосредственно следует, что (110) равносильно

тому, что за параметр t мы выбираем длину дуги s кривой -мерного пространства. Благодаря (110) система (109) упрощается и принимает вид

Нетрудно проверить, что эта система имеет интеграл:

Действительно,

Но в силу того, что однородный полином второй степени от имеем

и, следовательно,

Пользуясь этим равенством, можем переписать выражение для в виде

и в силу (111) имеем есть интеграл системы (111), и дополнительное условие (110) получается, если положить произвольную постоянную равной единице.

Напишем теперь уравнения (111) в раскрытом виде:

или, подставляя сюда выражение (108),

Остановимся на второй сумме. В ней коэффициенты при не одинаковы, но мы можем сделать их одинаковыми, заменив каждый из них на их полусумму:

Соединив первую сумму со второй и переменив знак на обратный, мы приведем окончательно нашу систему к следующему виду:

В этих уравнениях производные берутся по длине дуги s. Выражение, стоящее в скобках во второй сумме, носит в дифференциальной геометрии название символа Кристоффеля первого рода и обозначается следующим образом:

Можно написать уравнения (112) в разрешенном относительно виде. Обозначим через элементы матрицы, транспонированной по отношению к матрице т. е.

где D есть определитель матрицы который будет отличным от нуля в силу определенности квадратичной формы (106), и А — алгебраические дополнения элементов а этого определителя. Мы имеем следующие основные равенства для элементов

Умножая обе части (112) на суммируя по i и меняя во втором слагаемом порядок суммирования, получим в силу (113):

где

После использования соотношения (110) уравнения Эйлера приняли вид (111), и эти уравнения перестали уже быть зависимыми. Нам удалось решить их относительно

В качестве примера рассмотрим задачу нахождения геодезических линий на произвольном цилиндре. Выбираем ось Z параллельно образующим цилиндра, и пусть уравнение направляющей в плоскости будет причем за параметр а принята длина дуги направляющей, так что

Выберем за координатные параметры, определяющие положение точки на цилиндре, указанный выше параметр а и координату . При этом

так что в данном случае мы будем иметь

Уравнения (114) дадут нам при причем производные взяты по длине дуги s. Таким образом, мы получим

Если , то мы можем написать уравнение этих линий в виде где произвольные постоянные. Эти линии, полное уравнение которых будет

суть те винтовые линии, которые мы рассматривали в [11; 139]. Присутствие постоянного слагаемого в выражении не играет, конечно, никакой роли.