31. Разложение ядра по собственным функциям.

Система (197) может и не быть замкнутой. Поэтому при разложении какой-либо функции в ряд Фурье по даже при равномерной сходимости ряда нельзя утверждать, что сумма ряда равна разлагаемой функции. Начнем с образования ряда Фурье для ядра.

Мы видели, что коэффициенты Фурье ядра относительно системы (198) равны отношениям и ряд Фурье ядра имеет вид

причем суммирование ведется по k или до бесконечности или до конечного числа, равного числу всех собственных функций системы

Отметим, что ряд (201) можно рассматривать как ряд Фурье определенной в по функциям , которые образуют в ортонормированную систему [23]. При этом

Теорема 1. Если ядро непрерывно и ряд (201) сходится равномерно в та его сумма равна ядру в т. е.

Считая пока, что число характеристических значений бесконечно, рассмотрим разность

являющуюся непрерывной симметричной функцией в квадрате . Если фиксировать s и рассматривать как функцию от t на промежутке то ее коэффициенты Фурье относительно системы функций равны нулю

Нам надо доказать, что тождественно равна нулю в квадрате . Будем доказывать это от обратного.

Положим, что функция не обращается тождественно в нуль в квадрате и примем ее за ядро интегрального уравнения

В силу основной теоремы, сформулированной в предыдущем параграфе, это интегральное уравнение должно иметь по крайней мере одно характеристическое значение которому соответствует некоторая собственная функция не равная тождественно нулю:

Покажем, что эта функция должна быть ортогональна ко всем собственным функциям ядра Действительно,

умножая обе части (203) на и интегрируя по s, получим

В силу (204) и симметрии мы имеем отсюда

Мы можем переписать равенство (204) в виде

Принимая во внимание равномерную сходимость ряда (201) и формулы (205), получим

т. е. функция должна быть собственной функцией первоначального ядра Следовательно, она должна быть линейной комбинацией собственных функций соответствующих характеристическому значению Но этого не может быть, поскольку все образуют ортогональную систему, а ортогональные функции не могут быть линейно зависимы [3]. Это противоречие показывает, что наше предположение неверно, и следовательно, имеет место формула (202). В дальнейшем мы покажем, что ряд (201) сходится равномерно в если числа одного знака, кроме, может быть, их конечного числа.

Положим теперь, что ядро непрерывно или слабо полярно или из и образуем его ряд Фурье в

Как всякий ряд Фурье функции из он сходится в среднем, и мы можем говорить об его сумме в Составим разность принадлежащую в и будем рассуждать дальше так же, как и выше. При этом надо принять во внимание, что ряд, сходящийся в среднем, можно умножать на функцию из и почленно интегрировать. Окончательно мы придем к тому, что (эквивалентна нулю). Таким образом, мы имеем такую теорему:

Теорема 2. Для непрерывных, слабо полярных ядер и ядер из U ряд (201) сходится в среднем в и его сумма равна ядру.

Из сходимости в среднем следует уравнение замкнутости

Можно было бы доказать сначала теорему 2 и получить теорему 1, как ее непосредственное следствие.

Нетрудно видеть, что непрерывные и слабо полярные ядра суть также ядра из

Если ядро имеет конечное число характеристических значений, то ряд (201) содержит конечное число слагаемых, и имеет место равенство

Эта формула показывает, что есть вырожденное ядро, если оно имеет конечное число характеристических значений. С другой стороны, раньше мы показали [27], что всякое вырожденное ядро имеет конечное число характеристических значений.

Таким образом, конечность числа характеристических значений является необходимым и достаточным условием вырожденности симметричного ядра.