16. Неограниченные ядра.

Доказанные выше теоремы могут оказаться несправедливыми для неограниченных ядер. В этом и следующем параграфе мы докажем эти теоремы и для некоторого типа неограниченных ядер, а именно, для ядер вида

где непрерывна в Такие ядра называются полярными. Непрерывная функция ограничена по модулю в и

где А — постоянная.

Предварительно оценим величину интеграла по некоторому конечному промежутку

Рассмотрим интегральный оператор

где принадлежит множеству непрерывных функций, ограниченных по модулю определенным числом: и покажем, что образуют компактное множество в С, т. е. что оператор (103) — вполне непрерывный оператор из в . Ограниченность одним и тем же числом следует из

Остается доказать равностепенную непрерывность v(s). Мы, очевидно, имеем

Пусть некоторое число, малое по сравнению с (b — а). Покроем точки s и s числовой прямой отрезками длины , в середине которых находятся точки s и . Эти отрезки

могут перекрывать друг друга и выходить из промежутка . В интеграле (104) модуль подынтегральной функции не больше

Интегрируя эту сумму по и и складывая результаты, получим положительную величину, которая не больше

Остается проинтегрировать по оставшейся части на которой так что искомый интеграл не больше по абсолютной величине

Нам надо доказать, что при любом заданном существует такое (не зависящее от и ), что

Сначала выбираем так, чтобы иметь

В силу непрерывности подынтегральной функции в интеграле (105) существует такое что и интеграл по оставшейся части не больше и окончательно мы получаем

Таким образом, доказано, что оператор (103) вполне непрерывен как оператор из С в С.

Исследуем еще некоторые свойства оператора. Введем непрерывное ядро, близкое, в известном смысле, к ядру . Пусть — малое положительное число. Положим:

Ядро отличается от ядра только при так что

Наряду с преобразованием (103) рассмотрим интегральное преобразование

Повторяя те же оценки, что и выше, с учетом определения (106), легко получить следующую лемму:

Лемма. Если непрерывные функции и ограничены по модулю одним и тем же числом, то формула (107) при , где определяет класс равностепенно непрерывных функций, также ограниченных по модулю одним и тем же числом.

В дальнейшем нам понадобится еще формула перестановки порядка интегрирования

где непрерывные в функции. Для непрерывного ядра она известна [II; 81], и легко показать, что

равномерно Нам нужна будет еще одна формула. Пусть непрерывные в функции, зависящие от положительного параметра у, которые стремятся равномерно при к функции также, очевидно, непрерывной. Тогда

Это доказывается при помощи очевидного неравенства