45. Уравнения первого рода.

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода

с симметричным ядром. Мы считаем, что из заданная функция из и ищется, решение также из . В дальнейшем будем называть симметричное ядро полным, если система его собственных функций полна (замкнута). Если ядро не полное, то уравнение

имеет решение, не эквивалентное нулю, и если уравнение (282) разрешимо в то его решение не единственно. Если же ядро полное, то уравнение (282) не может иметь более одного решения. Если бы оно имело два не эквивалентных решения то их разность не эквивалентная нулю, должна была бы удовлетворять уравнению (283), т. е. ядро оказалось бы не полным, что противоречит предположению.

Как и выше, через будем обозначать коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы собственных функций ядра и через его характеристические значения.

Докажем теорему Пикара, дающую необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (282).

Теорема. Пусть полное ядро. Тогда для разрешимости уравнения (282) необходимо и достаточно, чтобы ряд

сходился.

Сначала докажем необходимость условия Пусть существует решение уравнения (282). Пусть коэффициенты Фурье относительно системы Как известно, коэффициенты Фурье функции , представимой согласно (282) через ядро, выражаются формулой

и из сходимости ряда с общим членом следует сходимость ряда (284).

Докажем достаточность условия. Пусть ряд (284) сходится. Тогда существует функция из с коэффициентами Фурье и в силу полноты системы такая функция единственна (с точностью до эквивалентности)

причем написанный ряд сходится в среднем. Функция (286) удовлетворяет уравнению (282), так как при ее подстановке в уравнение левая и правая части равенства (282) имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной ортонормированной системы Теорема доказана.

Полнота ядра, т. е. системы является существенной не только для единственности, но и для существования решения уравнения (282) из Действительно, положим, что система не полная, т. е. существуют функции из не эквивалентные нулю и ортогональные ко всем

Пусть такая функция. Покажем, что уравнение (282) при не имеет решений из . В самом деле, пусть чакое решение существует, и пусть коэффициенты Фурье функции относительно ортогональной системы Из

уравнения (282), вычисляя коэффициенты Фурье левой части согласно [32], находим

причем ряд в правой части сходится в среднем. Умножая на к интегрируя, получим, что противоречит выбору

Если же при неполном ядре для какой-либо из уравнение (282) имеет решение из то, очевидно, функция , где ортогональна ядру, также удовлетворяет уравнению. Следовательно, решение уравнения (282) в этом случае не единственно.