44. Кососимметричное ядро и интегральные уравнения, приводимые к уравнениям с симметричным ядром.

Ядро называем кососимметричным, если

и в случае вещественности ядра:

Если ввести ядро

то в силу (275) получим

и интегральное уравнение с кососимметричным ядром

можно переписать в виде уравнения с симметричным ядром

где . Отсюда следует, что уравнение (276) с кососимметричным ядром имеет по крайней мере одно характеристическое значение и что все его характеристические значения — чисто мнимые.

Мы укажем сейчас еще класс интегральных уравнений, которые простым преобразованием приводятся к уравнениям с симметричным ядром. Это уравнения вида

где симметричное ядро и непрерывная функция в промежутке Умножая обе части (278) на и вводя новую искомую функцию придем к интегральному уравнению

с симметричным ядром:

Пусть характеристические значения и собственные функции уравнения (279), причем последние образуют ортонормированную

систему. Пользуясь формулой получим для собственных функций уравнения (278) ортонормированность с весом

При непрерывности или слабой полярности получим для второго повторного ядра

и, сокращая на множитель получим

Аналогичным образом для функций

будем иметь

Мы имеем, кроме того, формулу:

если ряд, стоящий справа, сходится равномерно по. отношению к одной из переменных при любом фиксированном значении второй переменной.

Положим, что функция представима через ядро , т. е.

Тогда

где

Сокращая обе части (280) и (281) на получим для функции

разложение:

Мы могли бы также привести уравнение (278) к уравнению с симметричным ядром, вводя вместо s и t новые переменные х и у:

причем в силу новые переменные возрастают при возрастании s и и последние — однозначные функции х и у. После замены переменных получим новые функции: и новое симметричное ядро и уравнение (278) перепишется в виде