75. Замечания по поводу уравнений Эйлера и Остроградского.

Рассмотрим сначала уравнение Эйлера (14) в простейшем случае. Положим, что функция F не содержит у. Уравнение принимает вид

и имеет очевидный первый интеграл . Если F не содержит , то нетрудно проверить, что имеется первый интеграл:

Действительно,

Поскольку содержит множитель при —у является левой частью уравнения Эйлера и, следовательно, в силу этого уравнения

т. е. мы имеем действительно интеграл (38).

Если F не содержит , то уравнение Эйлера (14) будет

т. е. мы имеем не дифференциальное, а конечное уравнение. Оно даст нам одну или несколько линий, а не семейство, зависящее от двух параметров, как это имело место в случае дифференциального уравнения, и мы не сможем, вообще говоря, удовлетворить предельным условиям.

Отметим теперь те случаи, когда уравнение Эйлера обращается в тождество. Положим, что у, причем имеет место тождество

Нетрудно проверить, что при. этом левая часть уравнения (14) будет тождественно равна нулю, а интеграл (10) может быть записан в таком виде:

причем в силу (39) он не зависит от пути, т. е. имеет одно и то же значение при любом выборе кривой соединяющей точки что и обуславливает тот факт, что уравнение Эйлера обращается в тождество. Нетрудно видеть, что в данном случае мы можем написать

где определяется как интеграл (40) с переменным верхним пределом.

Совершенно так же, если подынтегральная функция в интеграле (26) будет полной производной по от некоторой функции, зависящей от

то уравнение Эйлера (29) превратится в тождество.

Рассмотрим теперь функционал (32) и положим, что подынтегральная функция имеет вид

где А и В — некоторые функции от . Непосредственной подстановкой можно проверить, что при этом уравнение Остроградского превращается в тождество. По сути дела, это происходит от того, что в силу формулы Римана двойной интеграл от выражения (41) равен интегралу по контуру:

и, таким образом, значение этого двойного интеграла вполне определяется теми значениями, которые принимает функция и на контуре l области В. Есда фиксировать значение u на контуре то двойной интеграл по области В будет иметь одно и то же значение при любом выборе функции u.

Выражения вида (41) можно назвать выражениями типа расходимости. Заметим, что если мы к подынтегральной функции какого-либо функционала (32) добавим выражение типа расходимости, то, очевидно, это вовсе не повлияет на уравнение Остроградского, т. е. новый функционал будет иметь то же самое уравнение Остроградского, что и прежде. Это непосредственно вытекает из того, что левая часть уравнения (34) есть линейная однородная форма от F и ее частных производных.

Выше мы видели, что если в интеграле (32) подынтегральное выражение есть выражение типа расходимости, то уравнение Остроградского обращается в тождество. Можно доказать и обратное утверждение.

Если подынтегральная функция F содержит частные производные выше первого порядка, то, как и выше, условие (41) является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение Остроградского (37) превращалось в тождество. Но при этом А и В могут содержать частные производные того же порядка, что и F. Так, например,

и нетрудно проверить, что при этом уравнение (37) превращается в тождество.