21. Аппарат Фредгольма для полярных ядер.
Рассмотрим интегральное уравнение с полярным ядром
где
В этом случае 
не имеет смысла и мы не имеем первого следа ядра 
Положим, что а 
При этом все повторные ядра, начиная со второго,
непрерывны и, следовательно, существуют следы
Вернемся к непрерывному ядру и напомним, что резольвента 
определялась формулой
где 
получалась перемножением двух степенных рядов:
Ряд для 
определялся при всех к по формуле (50), а для 
достаточно близких к нулю, по формуле
Умножая числитель и знаменатель дроби (132) на 
и обозначая
мы можем написать тождество, аналогичное (133):
Оно получается формально из (133), если выразить 
через следы и в (134) положить 
Дробь
дает, очевидно, аналитическое продолжение выражения, стоящего в квадратных скобках формулы (134), на всю плоскость к.
Пока мы говорили о непрерывном ядре. В рассматриваемом случае полярного ядра (130) при 
можно показать, что
есть целая функция 
и что решение уравнения можно представить в виде
причем нули 
суть полюсы 
. Отметим еще, что все члены в 
, содержащие 
получаются только из элементов главной диагонали определителей, входящих в формулы для 
и что можно получить 
по упомянутым формулам, полагая 
Исследование указанного выше случая принадлежит Гильберту. Совершенно аналогично, если в полярном ядре а таково, что повторные ядра 
непрерывны при 
то резольвенту можно представить в виде
где 
получается из 
, если положить 
