29. Вполне непрерывные в L2 операторы.

Вполне непрерывным в оператором называется такой оператор который преобразует каждое ограниченное в L2 множество

в компактное множество, т. е. такое множество функций из U, что во всякой последовательности этих функций существует сходящаяся в подпоследовательность. Цель настоящего пункта доказать следующую теорему.

Теорема. Интегральный оператор с ядром из есть вполне непрерывный оператор в

Предварительно будет доказана

Лемма 1. Если бесконечная последовательность линейных ограниченных и вполне непрерывных операторов в и В — такой линейный ограниченный оператор в что норма разности стремится к нулю при то и В — вполне непрерывный оператор.

Пусть - бесконечная последовательность элементов из ограниченного множества в при всех п. Нам надо доказать, что из последовательности можно выбрать сходящуюся в 12 подпоследовательность. Поскольку В — вполне непрерывный оператор, из последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть - такая подпоследовательность что последовательность сходится. Поскольку вполне непрерывный оператор, из последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть - такая подпоследовательность последовательности что последовательность сходится. Из того, что есть подпоследовательность для следует, что и — сходящаяся последовательность. Совершенно так же из последовательности можно выбрать такую подпоследовательность что при будут сходящиеся подпоследовательности. Продолжая так и дальше, получим последовательности Возьмем теперь диагональную последовательность

Это есть подпоследовательность для начальной последовательности и последовательность есть сходящаяся последовательность при любом . Остается доказать, что последовательность также сходится. Как мы знаем [II; 162], достаточно доказать, что эта последовательность сходится в себе, т. е. при любом заданном существует такое N, что

По условию норма разности операторов стремится к нулю при при

Применяя теорему 4 из [II; 161], можем написать неравенство:

Сначала фиксируем такое I, что имеет место неравенство

При этом имеем

Далее, поскольку последовательность сходится, существует такое N, что

откуда и следует (190), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Всякий конечномерный оператор вполне непрерывен. Конечномерный оператор имеет вид [27]

где функции из Рассмотрим ограниченную последовательность из Пусть D — наибольшая из норм . Мы можем написать так:

Из сказанного непосредственно следует оценка . Каждая из бесконечных последовательностей чисел есть по доказанному ограниченная последовательность и, следовательно, имеется такая последовательность значков , что и каждая из последовательностей имеет предел. Обозначим эти пределы:

и пусть соответствующие этим функции Введем функцию из

Применяя теорему 4 из [II, 161], получим

где наибольшая из норм . Из написанного неравенства следует, что при и т. д.

Обратимся теперь к доказательству основной теоремы. Мы видели, если ядро из то его можно представить в виде

где вырожденное ядро и

где любое малое число, Ядру соответствует вырожденный, т. е. конечномерный оператор, соответствует оператор, норма которого в силу (191) и (159) не превышает е. Фиксируя последовательность чисел стремящуюся к нулю, получаем последовательность конечномерных операторов, соответствующих ядру причем Отсюда следует, что интегральный оператор, соответствующий ядру вполне непрерывен, и т. д.

Из лемм 1 и 2 следует, что если для любого линейный оператор К может быть представлен в виде суммы двух линейных операторов из которых конечномерный, а имеет норму, не превосходящую , то К является вполне непрерывным оператором. Оказывается, верно и обратное предложение: любой вполне непрерывный оператор К допускает такое представление для произвольного или, что то же, может быть приближен конечномерными операторами в операторной норме. Это доказывается в п. 13 V тома. Это так не только в пространстве но и в любом гильбертовом пространстве Н (имеются ввиду полные сепарабельные пространства — см. п. 121 тома V).

Из доказательств теорем Фредгольма. данных в п. 28, видно, что они справедливы для операторных уравнений

в произвольном (комплексном) гильбертовом пространстве Н, если является линейным вполне непрерывным оператором в Н.