65. Уравнения в случае бесконечного промежутка.

Рассмотрим интегральное уравнение

с ядром, зависящим от разности, в предположении, что функции принадлежат на промежутке и что решение ищется в том же классе. Применяя к обеим частям преобразование Фурье, получим

где — преобразования Фурье взятые в виде

Из (434) следует

Поскольку должна быть непрерывной функцией, то для разрешимости уравнения (433) при любой из необходимо

Условие (436) является и достаточным для разрешимости уравнения (433) в классе . В самом деле, по теореме Винера (т. е. по свойству 8° из [62]) существует такая функция из класса что

Из свойства 4° [62] (о преобразовании Фурье свертки) вытекает, что (435) равносильно формуле

функция принадлежит как свертка двух функций того же класса. Отметим еще, что при условии (436) решение (438) уравнения (433) единственно в классе это следует из свойства 6° [62].

Рассмотрим теперь однородное уравнение

и будем искать его решение в виде Подставляя в уравнение и совершая замену переменной интегрирования, получаем уравнение для а:

В упоминавшейся в книге Титчмарша указаны условия, при которых все решения уравнения (439) являются линейными комбинациями функций где корни уравнения (440), имеющие кратность . Отметим, что эти решения не принадлежат и на ядро необходимо наложить условия, гарантирующие сходимость соответствующих интегралов.