113. Обобщенные производные.

Мы введем сейчас новое понятие частной производной, которое имеет широкое применение. В [II; 66] мы приводили формулу интегрирования по частям для тройного интеграла

Совершенно аналогичная формула имеет место и для интеграла любой кратности при соответствующем определении . Отметим, что, если, например, функция, финитная в то интеграл по S равен нулю и формула (12) принимает вид

Коротко говоря, можно перекидывать дифференцирование с одного множителя на другой , меняя знак у интеграла. Рассмотрим какую-либо производную порядка l:

Если функции имеют внутри непрерывные частные производные до порядка l и функция финитна в то имеется формула интегрирования по частям

Формула эта может быть положена в основу понятия обобщенной производной.

Определение 1. Пусть и причем для любой имеет место формула:

При этом и называется обобщенной производной вида в области Покажем, что обобщенная производная единственна с точностью до функции, эквивалентной нулю. Положим, что существует еще обобщенная производная типа D. Надо доказать, что и эквивалентна . Подставляя в формулу и вместо и и почленно вычитая полученные две формулы получим

для любой бесконечно дифференцируемой финитной в функции Положим , где и стремится к и в . Переходя в интеграле (16) к пределу, получим [II, 162]

откуда и следует, что и эквивалентны. Для обобщенной производной применяется то же обозначение, что и для обычной

Если существует обычная непрерывная производная то эта производная в силу формулы интегрирования по частям (14) совпадает с обобщенной производной и

Из определения обобщенной производной и ее единственности следует

причем обобщенная производная, стоящая слева, существует, если существуют обобщенные производные, стоящие справа. Из определения следует также, что не зависит от порядка дифференцирования, но лишь от его вида Отметим еще, что из существования не следует существование обобщенных производных порядка ниже l или того же порядка но другого вида, отличного от . Сформулируем еще свойство замкнутости обобщенного дифференцирования. Пусть существуют обобщенные производные при . Тогда имеет

обобщенную производную . Для доказательства надо заменить в формуле (15) и на соответственно и перейти к пределу при . При этом мы получим формулу (15), в которой и заменено на на , что и требовалось доказать.

Предполагая, что и имеет обобщенную производную и вычислим обычную производную от средней функции:

Если и ее расстояние от границы больше h, то мы можем в точке взять качестве финитной функции в формуле (15):

и в силу (18) можем записать эту формулу в виде

т. е. средние функции от обобщенных производных совпадают с производными того же вида от средних функций во всех точках расстояние от которых до границы больше радиуса усреднения.

На основании свойств средних функций можем утверждать, что в при , где - любая область, лежащая строго внутри Прежде чем переходить к формулировке дальнейших свойств обобщенных производных, дадим их другое определение и докажем его равносильность первому определению.

Определение 2. Функция и из называется обобщенной производной типа функции из если существует последовательность функций из таких, что сходятся при где -любая область, лежащая строго внутри

Теорема. Определения 1 и 2 равносильны.

Положим, что и есть обобщенная производная по определению 2. Заменим в формуле (14) и на на . После этого мы можем перейти к пределу под знаком интеграла [II; 109] и придем, таким образом, к формуле (15), соответствующей определению 1.

Справедливость обратного утверждения доказана непосредственно перед определением 2.