Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

113. Обобщенные производные.

Мы введем сейчас новое понятие частной производной, которое имеет широкое применение. В [II; 66] мы приводили формулу интегрирования по частям для тройного интеграла

Совершенно аналогичная формула имеет место и для интеграла любой кратности при соответствующем определении . Отметим, что, если, например, функция, финитная в то интеграл по S равен нулю и формула (12) принимает вид

Коротко говоря, можно перекидывать дифференцирование с одного множителя на другой , меняя знак у интеграла. Рассмотрим какую-либо производную порядка l:

Если функции имеют внутри непрерывные частные производные до порядка l и функция финитна в то имеется формула интегрирования по частям

Формула эта может быть положена в основу понятия обобщенной производной.

Определение 1. Пусть и причем для любой имеет место формула:

При этом и называется обобщенной производной вида в области Покажем, что обобщенная производная единственна с точностью до функции, эквивалентной нулю. Положим, что существует еще обобщенная производная типа D. Надо доказать, что и эквивалентна . Подставляя в формулу и вместо и и почленно вычитая полученные две формулы получим

для любой бесконечно дифференцируемой финитной в функции Положим , где и стремится к и в . Переходя в интеграле (16) к пределу, получим [II, 162]

откуда и следует, что и эквивалентны. Для обобщенной производной применяется то же обозначение, что и для обычной

Если существует обычная непрерывная производная то эта производная в силу формулы интегрирования по частям (14) совпадает с обобщенной производной и

Из определения обобщенной производной и ее единственности следует

причем обобщенная производная, стоящая слева, существует, если существуют обобщенные производные, стоящие справа. Из определения следует также, что не зависит от порядка дифференцирования, но лишь от его вида Отметим еще, что из существования не следует существование обобщенных производных порядка ниже l или того же порядка но другого вида, отличного от . Сформулируем еще свойство замкнутости обобщенного дифференцирования. Пусть существуют обобщенные производные при . Тогда имеет

обобщенную производную . Для доказательства надо заменить в формуле (15) и на соответственно и перейти к пределу при . При этом мы получим формулу (15), в которой и заменено на на , что и требовалось доказать.

Предполагая, что и имеет обобщенную производную и вычислим обычную производную от средней функции:

Если и ее расстояние от границы больше h, то мы можем в точке взять качестве финитной функции в формуле (15):

и в силу (18) можем записать эту формулу в виде

т. е. средние функции от обобщенных производных совпадают с производными того же вида от средних функций во всех точках расстояние от которых до границы больше радиуса усреднения.

На основании свойств средних функций можем утверждать, что в при , где - любая область, лежащая строго внутри Прежде чем переходить к формулировке дальнейших свойств обобщенных производных, дадим их другое определение и докажем его равносильность первому определению.

Определение 2. Функция и из называется обобщенной производной типа функции из если существует последовательность функций из таких, что сходятся при где -любая область, лежащая строго внутри

Теорема. Определения 1 и 2 равносильны.

Положим, что и есть обобщенная производная по определению 2. Заменим в формуле (14) и на на . После этого мы можем перейти к пределу под знаком интеграла [II; 109] и придем, таким образом, к формуле (15), соответствующей определению 1.

Справедливость обратного утверждения доказана непосредственно перед определением 2.

1
Оглавление
email@scask.ru