37. Формулировка полученных результатов в терминах интегральных операторов.

При изложении теорем 1—4 мы не пользовались тем фактом, что рассматриваемый линейный, вполне непрерывный, самосопряженный оператор А есть интегральный оператор:

При непрерывном ядре и конечном промежутке считая, что из мы получаем непрерывную функцию (5). Поэтому уравнение

с непрерывными имеет лишь непрерывные решения, даже если ищется из Этого нельзя утверждать об уравнении

При непрерывности ядра оно может иметь решения из . Это надо иметь в виду в теореме 4. Если присоединить все линейнонезависимые решения уравнения из непрерывные), предварительно ортогонализовав их, к собственным функциям , то получится замкнутая (полная) система. Для оператора (239) рассматривалось уравнение с параметром и его собственные числа

причем и

и этот максимум осуществляется при . Величина определяется так:

при и

и этот максимум осуществляется при Ортонормированная система может состоять как из конечного, так и из бесконечного числа функций, причем в последнем случае она может быть как замкнутой, так не замкнутой.

Теорема 3 заключается в том, что всякая функция представимая через ядро

разлагается в ряд Фурье по сходящийся в среднем к g (s). Для непрерывных и слабо полярных ядер считаем непрерывной функцией) непрерывная функция, соблюдается условие

и было доказано, что упомянутый ряд Фурье сходится регулярно, а следовательно, и в среднем, и его сумма равна , поскольку предел в среднем единствен.

Ряд имеет вид

Для считаем из и написанный ряд сходится в среднем.

Рассмотрим полярные ядра без условия их слабой полярности. Было доказано, что соответствующий оператор

преобразует непрерывные функции в непрерывные и является вполне непрерывным оператором из С в С. При ядро не принадлежит Рассмотрим интегральное уравнение с таким ядром:

причем мы считаем, что непрерывна в

Подставим правую часть (240) вместо под знаком интеграла и проделаем эту подстановку несколько раз для краткости письма обозначая ядро через мы получим

где

- непрерывная в функция.

Выбирая достаточно большим, получим регулярное ядро. Всякое решение уравнения (240), непрерывное или из должно удовлетворять и уравнению (241), и следовательно, непрерывная функция. Совершенно аналогично и собственные функции уравнения (240) должны быть непрерывными функциями.