37. Формулировка полученных результатов в терминах интегральных операторов.
При изложении теорем 1—4 мы не пользовались тем фактом, что рассматриваемый линейный, вполне непрерывный, самосопряженный оператор А есть интегральный оператор:
При непрерывном ядре и конечном промежутке
считая, что
из
мы получаем непрерывную функцию (5). Поэтому
уравнение
с непрерывными
имеет лишь непрерывные решения, даже если
ищется из
Этого нельзя утверждать об уравнении
При непрерывности ядра оно может иметь решения
из
. Это надо иметь в виду в теореме 4. Если присоединить все линейнонезависимые решения уравнения из
непрерывные), предварительно ортогонализовав их, к собственным функциям
, то получится замкнутая (полная) система. Для оператора (239) рассматривалось уравнение с параметром
и его собственные числа
причем
и
и этот максимум осуществляется при
. Величина определяется так:
при
и
и этот максимум осуществляется при
Ортонормированная система
может состоять как из конечного, так и из бесконечного числа функций, причем в последнем случае она может быть как замкнутой, так не замкнутой.