32. Функции, представимые через ядро.

Ортонормированная система ядра может, конечно, не быть замкнутой и ряд Фурье какой-либо функции по этой системе, даже если он равномерно сходится, может иметь сумму, отличную от Выше мы видели, что для ядра из равномерной сходимости ряда (201) следует, что его сумма равна ядру. Это естественно приводит к определению некоторого класса функций:

Определение. Функция называется функцией, представимой через ядро, если ее можно представить в виде

Если ядро непрерывно или слабо полярно на конечном промежутке, то будем считать непрерывной, и при этом есть также непрерывная функция. Если ядро из то и будем считать из . При этом и из Определим коэффициенты Фурье

т. е.

где — коэффициенты Фурье h(t) относительно системы . Таким образом, ряд Фурье имеет вид

Будем считать число собственных функций бесконечным. Применяя неравенство Коши, получим

Положим, что ядро удовлетворяет условию

где - некоторая постоянная (не зависящая от s). В силу неравенства Бесселя имеем

и из (211) следует

Но числовой ряд с общим членом сходится и из (212) следует Теорема 1. Ряд Фурье функции представимой через ядро,

при условии (211) регулярно сходится, т. е. ряд модулей его членов

равномерно сходится. Отсюда следует, что сам ряд (213) сходится абсолютно и равномерно на промежутке если соблюдено

условие (211). Это условие соблюдается для непрерывных и слабо полярных ядер на конечном промежутке Оно может соблюдаться при почти всех s для ядер из Дальше будет доказана

Теорема 2. При соблюдении условия (211) сумма ряда (213) равна и в случае ядра из ряд (213) сходится в среднем к

Эта теорема называется обычно теоремой Гильберта —Шмидта. Мы переходим теперь к общей теории операторов, соответствующих вполне непрерывным интегральным операторам с симметричным ядром, как для семейства непрерывных функций на конечном промежутке, так и для