7. Знаменатель Фредгольма.

Мы определили резольвенту только в круге плоскости комплексного переменного . Дальше мы покажем, что она может быть аналитически продолжена на всю плоскость , что ее особыми точками могут быть только полюсы, и что при всех , кроме полюсов, она удовлетворяет уравнениям (46). Для этого мы построим такую целую функцию , что при умножении ряда (39) на получим также целую

функцию от . Резольвента окажется, таким образом, частным двух целых функций

т. е. дробной или мероморфной функцией . Если уравнение не имеет корней, то есть целая функция X и ряд (39) сходится на всей плоскости . Дальше мы, построив подробно исследуем правую часть (47). Для построения мы заменим интеграл, входящий в уравнение (42), конечной интегральной суммой. Такая замена является, строго говоря, недопустимой, но последующие выкладки не будут служить для нас доказательством, а будут являться лишь наведением, чтобы угадать вид .

Разделим промежуток на равных частей, длина каждой из которых будет Введем обозначение для точек деления и для значений, входящих в уравнение (42) функций в этих точках, а именно, положим

Заменяя интеграл соответствующей суммой Римана, будем иметь приближенное равенство:

В этом равенстве мы заменим независимую переменную s на . Таким образом получим систему уравнений первой степени относительно неизвестных

При решении этой системы по теореме Крамера будем иметь следующий знаменатель:

Применим к этому определителю формулу разложения, которую имели [III,; 5] для определителя вида

полагая в этом последнем Мы полупим, таким образом:

Для удобства в дальнейших вычислениях введем следующее обозначение:

Рассмотрим последовательные члены правой части формулы (48). Сумма

представляет собой сумму Римана для интеграла

и при она стремится к этому интегралу. Совершенно так же сумма

представляет собой сумму Римана для интеграла

Таким образом, формула (48) в пределе естественно приводит нас к следующему степенному ряду относительно :

где

и

определяется согласно формуле (49).

Мы пришли к ряду (50) путем неточных соображений. Возвращаясь к изложению строгой теории, мы должны будем доказать два факта: во-первых, что ряд (50) сходится на всей плоскости комплексного переменного , т. е. является целой функцией , и, во-вторых, что при умножении ряда (39) на ряд (50) мы получим также целую функцию .

Произведем оценку коэффициентов . В формуле (51) под знаком интеграла стоит определитель порядка и, каждый элемент которого по модулю не превышает положительного числа М. Применяя теорему Адамара [III; 16] и обычную оценку кратного интеграла, получим

Таким образом, члены ряда (50) по модулю не превосходят положительных чисел:

Покажем, что эти числа образуют сходящийся ряд. Взяв отношение последующего числа к предыдущему, получим

При беспредельном возрастании выражение стремится а все написанное отношение стремится к нулю, откуда и вытекает сходимость при всяком ряда, образованного числами (52). Таким образом, функция (50) является целой функцией от .

Функция получилась предельным переходом из знаменателя Крамера. Естественно предположить, что она является знаменателем для резольвенты , т. е., что, умножая ряд (39) на мы получим целую функцию от . В результате этого умножения получим ряд, члены которого уже не числа, как , а функции от Введем специальное обозначение для этого ряда:

Оба степенных ряда (39) и (50) сходятся в круге (41). Поэтому и ряд (53), полученный от их перемножения, также сходится в этом круге. Степенные ряды, как абсолютно сходящиеся, можно перемножать почленно, и мы могли бы получить выражение для коэффициентов при помощи простого перемножения упомянутых рядов, но для удобства в дальнейших вычислениях поступим иначе. Умножая обе части первого из уравнений (46) на , получим

Подставляя в эту формулу вместо ряды (50) и (53) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, придем к формуле:

которая дает возможность последовательно вычислять коэффициенты причем мы должны считать . Заметим при этом, что ряд (53) во всяком случае сходится абсолютно и равномерно относительно при условии (41), так как при этом члены перемножаемых рядов (39) и (50) меньше положительных чисел, образующих сходящийся ряд. Это дает нам возможность почленного интегрирования в правой части формулы (54). Полагая в будем иметь:

т. e., принимая во внимание обозначение (49),

При формула (55) даст:

Производя элементарные преобразования, получим формулу, аналогичную предыдущей формуле:

Докажем, что при любом целом положительном мы имеем:

Выше мы доказали справедливость этой формулы при Обозначим через выражение, стоящее в правой части формулы (56). Мы имеем в силу сказанного: Покажем сейчас, что удовлетворяют тому же соотношению:

что и . В силу (55) и определяются последовательно единственным образом, и из будет следовать, что при любом . Таким образом, доказательство формулы (56) сводится к доказательству соотношения где есть правая часть формулы (56).

Заметим прежде всего, что если в символе, стоящем в левой части (49), мы совершим транспозицию двух букв или двух букв то величина определителя (49) изменит лишь знак, ибо дело сведется к перестановке двух строк или столбцов этого определителя. Разлагая определитель, входящий в формулу (56), по элементам первой строки и принимая во внимание только что сделанное замечание, мы можем написать так:

Интегрируя обе части этого соотношения по всем и меняя в правой части обозначение переменных интегрирования, а также пользуясь сделанным выше замечанием, получим

что и приводит нас к соотношению Таким образом, формула (56) доказана. Применяя к определителю, входящему в формулу (56), теорему Адамара, получим следующую оценку:

и отсюда, совершенно так же, как и для (50), покажем, что ряд (53) дает целую функцию от Я и что при любом к он сходится абсолютно и равномерно относительно (5, t) в квадрате

Принимая во внимание, что при условии (41) мы имеем

можем написать при этих значениях к:

Правая часть этой формулы дает аналитическое продолжение функции на всю плоскость комплексного переменного k и показывает, что резольвента есть дробная функция от . Отметим, что знаменатель в формуле (57), называемый обычно знаменателем Фредгольма, не зависит от переменных

Укажем некоторые следствия из написанных выше формул. Из (51) и (56) непосредственно следует:

Отметим еще возможность простого последовательного вычисления коэффициентов . Полагая в формуле и принимая во внимание, что получим из этой формулы . Рассматривая затем формулу (55) при получим из нее помня, что . Затем формула (58) при даст нам после чего формула (55) при даст и т. д. Если в формуле (53) положить и проинтегрировать обе части по s, то, в силу (58) получим

т. e. в силу (50)

Отметим, что из (56) следует непрерывность а из равномерной сходимости ряда (53) в следует непрерывность

Принимая во внимание (57), (59) и вводя обозначения

будем иметь

откуда в силу

Числа называются обычно следами повторных ядер Ряд, стоящий в показателе степени, сходится при условии (41). Но если мы разложим правую часть найденной формулы по степеням К, пользуясь обычным разложением

то получим разложение на всей плоскости (единственность разложения в степенной ряд), и коэффициенты будут содержать лишь следы Из формулы

следует, что коэффициенты в разложении могут быть выражены через следы и ядра

Целые функции могут быть разложены на всей плоскости по целым неотрицательным степеням (), где любое фиксированное комплексное число. Например,

где

Из оценок для непосредственно следует, что последний ряд сходится равномерно в при любом , и мы можем утверждать, что коэффициенты в разложении по степеням () также непрерывные в функции.