46. Симметризация ядра.

Рассмотрим несимметричное ядро которое будем для простоты считать непрерывным в Введем в рассмотрение два симметричных ядра

Покажем, что оба ядра положительны

и аналогично для . Характеристические значения положительного ядра положительны; обозначим какое-либо характеристическое значение через и пусть соответствующая собственная функция. Покажем, что

будет собственной функцией ядра соответствующей тому же характеристическому значению Действительно, из формул (287) и (288) легко находим, что

Заметим, что функция (288) не эквивалентна нулю. В самом деле, из равенства следовало бы:

а это противоречит тому, что - собственная функция.

Точно так же, если собственная функция ядра отвечающая характеристическому значению то

есть собственная функция ядра отвечающая тому же характеристическому числу. Из доказанного следует, что ядра имеют совпадающие характеристические значения одинакового ранга. Пусть соответствующие собственные функции ядра образующие ортонормированную систему. Тогда, пользуясь формулой (288), нетрудно показать:

т. е. функции образуют ортонормированную систему собственных функций ядра . При этом формулы (288), (289) дают

Так как ядра непрерывны, то из теоремы Мерсера [43] следуют разложения в абсолютно и равномерно сходящиеся ряды:

Докажем, что для ядра мы имеем разложение

Написанный ряд является рядом Фурье ядра по ортонормированным системам и сходится в среднем по s и по. Действительно, из (291) следует:

и в силу равномерной сходимости ряда (291) полученное выражение равномерно стремится к нулю при То же верно при перемене ролей s и

Пользуясь разложением (292), легко получить обобщение теоремы Гильберта — Шмидта на случай несимметричного ядра. Умножим обе части (292) на функцию из и проинтегрируем почленно:

где

и — коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы Оценим отрезки ряда (293):

В силу непрерывности ядра имеем

где С — постоянная, и, как и в [32], регулярная сходимость ряда (293) следует из (294) и (295). Аналогично доказывается регулярная сходимость ряда

Как и в [45], можно рассмотреть уравнение первого рода:

Если коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы то необходимое условие разрешимости — сходимость ряда

Если система полна в то решение уравнения (296) существует и единственно в Если система не полна, то относительно разрешимости уравнения можно сделать те же замечания, что в [45].