60. Предельные задачи для случая отрезка.

Рассмотрим сейчас задачи из [58] для того случая, когда вместо замкнутого контура L мы имеем отрезок вещественной оси. В дальнейшем через будем всегда обозначать функцию, регулярную вне конечного порядка на бесконечности, непрерывную вплоть до сверху и снизу, кроме, может быть, концов, и имеющую вблизи концов оценку

где А и а — постоянные, и с — один из концов, т. е. или . Через будем обозначать предельные значения сверху и снизу на

Задача 1. Найти так, чтобы при имело место соотношение

где заданная функция, удовлетворяющая условию Липшица на замкнутом отрезке

Как и в [58], формула

где произвольный полином, дает решение задачи. Условие (398) проверяется непосредственно на основании того, что вблизи концов имеет вид

где имеет конечный предел при . Можно показать, что формула (399) дает все решения задачи. Наметим доказательство этого. Пусть - два решения задачи. Достаточно показать, что разность есть полином. Как и в [58], эта разность регулярна на всей плоскости, кроме, может быть, точек , и имеет конечный порядок на бесконечности. Остается доказать, что регулярна и в точках

Примем во внимание, что имеет вблизи оценку (398). Легко показать, что при наличии такой оценки регулярна и в точке Чтобы убедиться в этом, достаточно повторить доказательство теоремы из если регулярна и однозначна в окрестности и ограничена по модулю, то она будет регулярной и в самой точке При этом условие ограниченности можно, без ущерба для доказательства, заменить условием (398), т. е.

Решение задачи 1, удовлетворяющее условию получается из (399) при

Следующие задачи мы будем рассматривать в том частном случае, когда

Задача 2. Найти так, чтобы при имело место соотношение

Принимая во внимание, что меняет знак, когда z обходит вокруг , мы можем написать следующие решения задачи 2:

где значение радикала фиксируется любым образом. Это решение отлично на всей конечной плоскости от нуля и . Решением задачи будет также:

где произвольный полином. Эта формула дает все решения задачи. Действительно, если какое-либо решение задачи, то нетрудно показать, аналогично тому, что мы делали в задаче 1, что отношение есть полином, откуда и следует (402).

Задача 3. Найти так, чтобы при имело место соотношение

где заданная функция, удовлетворяющая условию Липшица на замкнутом отрезке

Пусть функция (401), Принимая во внимание, что она удовлетворяет условию (400), мы можем переписать условие (403) в виде

т. е. для функции мы имеем задачу 1.

Определим значения радикала в формуле (401), например, так, чтобы разложение в окрестности началось с

При этом на верхнем берегу разреза радикал будет чисто мнимым с положительным коэффициентом при i. Понимая именно такое значение этого радикала, можем переписать условие (404) в виде

Покажем, что функция

удовлетворяет на замкнутом отрезке условию Липшица с показателем, равным половине. Воспользуемся для этого очевидным неравенством

Пусть принадлежат . Полагая

получим из (407)

откуда, принимая во внимание будем иметь:

Совершенно аналогично мы могли бы доказать, что

т. е.

откуда и следует, что функция (406) удовлетворяет условию Липшица с показателем на отрезке Следовательно, и вся правая часть формулы (405) также удовлетворяет условию Липшица . Решая для задачу 1 с предельным условием (405), получим

где, как всегда, произвольный полином. Пользуясь оценкой интеграла Коши вблизи концов отрезка, легко проверить, что функция (408) удовлетворяет условию (398). Если мы хотим получить решение, удовлетворяющее условию , то должны в формуле (408) положить равным постоянной:

Можно при решении задачи 3 поставить дополнительное условие ограниченности в окрестности концов отрезка. При этом вместо решения (401) задачи 2 мы должны взять:

и вместо формулы (408) получим

Чтобы получить решение, удовлетворяющее условию мы должны положить и, кроме того, должно быть выполнено следующее условие:

Если поставить условие ограниченности только на конце , то вместо (410) мы должны взять

и вместо формулы (411) получим

В данном случае мы будем иметь при всякой единственное решение, удовлетворяющее условию

Мы не останавливаемся на доказательстве формул (411) и (413). Его можно найти в упомянутой выше книге Н. И. Мусхелишвили, которой мы и следовали при изложении последних параграфов.