74. Случай кратных интегралов.
Приведем теперь вывод необходимого условия экстремума для кратного интеграла. Впервые эти условия были указаны М. В. Остроградским. Рассмотрим двойней интеграл
где их, 
частные производные функции и 
а 
— некоторая конечная область на плоскости XY. Считается, что функция 
имеет непрерывные производные до второго порядка, если точка 
находится внутри некоторой трехмерной области 
— любые 
Ищется поверхность 
лежащая внутри 
с границей к, однозначно проектирующаяся на плоскость 
в виде области В с границей 
дающая экстремум функционалу (32). Иными словами, ищется функция и 
в области В, дающая экстремум функционалу и принимающая данные значения на l. Мы предполагаем, что и 
имеет непрерывные производные до второго порядка в В. Составляем близкие функции и 
, где 
произвольная функция, обращающаяся в нуль на L Подставляя эту функцию в интеграл (32), дифференцируя по а и полагая 
получим следующее выражение первой вариации функционала:
Преобразуем последние два слагаемых, пользуясь известной формулой Римана
следующим образом:
Таким образом, мы будем иметь следующее выражение первой вариации:
Для экстремума необходимо, чтобы эта первая вариация обращалась в нуль, или, принимая во внимание, что 
на l равно нулю, мы можем утверждать, что двойной интеграл, стоящий в правой части (33), должен равняться нулю, а отсюда в силу леммы 2 [71] мы получаем для искомой функции и 
дающей экстремум функционалу (32), следующее уравнение Остроградского:
или, в раскрытом виде,
Мы получили уравнение с частными производными второго порядка, которое должно быть удовлетворено внутри области. Предельным условием, как мы уже говорили выше, является задание и на контуре 
В случае кратного интеграла, зависящего от нескольких функций, мы будем искать систему таких уравнений. В случае тройного интеграла и функции и 
, зависящей от трех независимых переменных, получится уравнение следующего вида:
Если под знак интеграла входят производные функции и 
до порядка 
то уравнение Остроградского будет иметь вид
Во всех предыдущих рассуждениях мы, как всегда, считаем непрерывными все функции, входящие в формулы. Кроме того, считается, что возможно применение при выводе формулы (33) преобразования двойного интеграла в криволинейный, что связано с поведением частных производных их и 
в окрестности контура I области В. Мы еще вернемся с более общих точек зрения к вопросу об экстремуме кратных интегралов при заданных предельных условиях.
