103. Стержень и пластинка.
Под стержнем мы подразумеваем тело линейных размеров, которое работает на изгиб. Возникающая при деформации потенциальная энергия считается пропорциональной интегралу от квадрата кривизны. В случае малых колебаний мы заменяем кривизну второй производной и 
и получаем для потенциальной энергии деформации следующее выражение:
где 
— заданный коэффициент пропорциональности. Интеграл (235) в данном случае будет выглядеть таким образом:
и соответствующее уравнение Эйлера приведет нас к следующему уравнению поперечных колебаний стержня:
Заметим, что если конец стержня свободен, то предельные условия могут быть получены как естественные предельные условия, о которых мы говорили в [83].
По аналогии со стержнем [79], будем считать, что потенциальная энергия для пластинки, которая в естественном состоянии имеет плоскую форму, представляет собой однородную квадратичную функцию величин, обратных главным радиусам кривизны пластинки в деформированном состоянии, а именно:
где а и b — некоторые постоянные и В — область плоскости 
, занятая пластинкой. Мы имеем для кривизны главных нормальных сечений уравнение [II; 146]:
В случае явного уравнения поверхности 
отбрасывая члены второго измерения относительно их и 
мы получим
откуда
и, следовательно,
Окончательно можем написать:
где D и 
— две новые постоянные, составленные из постоянных а и b. Коэффициент D называется жесткостью пластинки на изгиб и а есть известный коэффициент Пуассона. К написанному выражению энергии деформации надо добавить еще потенциал внешних сил, действующих на поверхность пластинки. Окончательно получим следующее выражение для интеграла (235), считая пластинку закрепленной по краям и ограничиваясь случаем статического прогиба:
где 
— нагрузка, рассчитанная на единицу площади. В силу (37) из [74] уравнение Остроградского в том случае, когда подынтегральная функция содержит производные до второго порядка от искомой функции и по двум независимым переменным х и у, имеет вид
Считая D = 1, можем написать
что приводит к следующему уравнению для статического прогиба:
В случае колебания пластинки, добавляя кинетическую энергию, будем иметь
Характерным является то обстоятельство, что член, входящий в выражение (247) и содержащий множитель (1 — а), при подстановке в левую часть уравнения Остроградского (246) дает тождественный нуль и не влияет на уравнение Остроградского. Но необходимо отметить, что упомянутый член оказывает существенное влияние при установлении естественных предельных условий.
