77. Изопериметрические задачи.

Напомним задачу об относительных экстремумах в случае функций нескольких переменных [I; 167]. Совершенно аналогично и в вариационном исчислении ставятся задачи об экстремуме некоторого функционала, при условии, что искомая функция должна удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям. В частности, поставим следующую

задачу: среди всех кривых для которых интеграл

имеет заданное значение а, определить ту, которая дает экстремум интегралу

Задача эта носит обычно название изопериметрической задачи. Это название происходит от основной из задач указанного типа, а именно, от задачи нахождения замкнутой кривой, которая при заданной длине а ограничивает наибольшую площадь (окружность). Поставленная задача приводится к обычной задаче вариационного исчисления без дополнительного условия при помощи следующей теоремы:

Теорема Эйлера. Если кривая дает экстремум интегралу (59) при условии (58) и при обычных предельных условиях (11), и если не является экстремалью интеграла (58), то существует такая постоянная К что кривая есть экстремаль интеграла

Введем в рассмотрение функцию, близкую к

где малые параметры, а — функции с обычными свойствами, равные нулю на концах промежутка интегрирования. Подставим эту функцию в интеграл (58):

Применяя обычные вычисления, можно написать:

Раз не есть экстремаль интеграла (58), то разность не есть тождественный нуль в промежутке и,

очевидно, можно выбрать функцию так, чтобы интеграл

был отличным от нуля.

Обратимся к уравнению Оно удовлетворено при поскольку есть, по предположению, решение нашей задачи, и в силу сделанного выбора частная производная от по отлична от нуля при Таким образом, по теореме о неявных функциях уравнение определяет как функцию от при всех значениях достаточно близких к нулю, причем производная от по при определяется, очевидно, следующей формулой:

Подставим функцию (61) в интеграл (59) и продифференцируем полученный интеграл по помня, что есть функция от

Пользуясь выражением (62) для постоянной можем написать:

где

или

Раз дает экстремум интеграла (59) при условии (58), то мы должны иметь откуда, принимая во внимание произвольность и основную лемму, получим, полагая уравнение

которое является уравнением Эйлера для интеграла (60). Общий интеграл написанного уравнения будет содержать три произвольные постоянные, а именно: две постоянные интегрирования и постоянную . Эти постоянные должны определяться из двух предельных условий и условия (58).

Сделаем одно замечание по поводу полученного результата. При умножении подынтегральной функции интеграла (59) на произвольную постоянную экстремали этого интеграла останутся, очевидно, прежними, и мы можем вследствие этого записать функцию в симметричной форме где u — постоянные. Поскольку F и G входят в выражение Н симметрично, мы можем утверждать, что при отыскании экстремума интеграла (59) при условии, что интеграл (58) сохраняет постоянное значение, мы получим те же самые экстремали, что и при разыскании экстремума интеграла (58), при условии, что интеграл (59) сохраняет постоянное значение. В этом состоит так называемый принцип взаимности в его простейшей форме. Мы считаем при этом, что постоянные и отличны от нуля, т. е. мы исключаем те кривые, которые являются экстремалями интеграла (58) или интеграла (59).

На примерах выясним смысл требования в теореме Эйлера, чтобы не была экстремалью интеграла (58). В более общем случае изопериметрическая задача имеет следующий вид: найти функции , дающие экстремум интегралу

при наличии связей

и предельных условий

При наличии некоторого дополнительного условия, обеспечивающего, как и выше, применимость теоремы о неявных функциях, мы можем утверждать, что функции дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями для интеграла

где — постоянные. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Заметим, что число связей может и превышать число искомых функций .