90. Особый случай.

Отметим один важный особый случай. Положим, что F есть однородная функция первого порядка относительно производных как это имеет, например, место при параметрической форме вариационной задачи. Согласно формуле Эйлера для однородных функций имеем

Дифференцируя это тождество по , получим

и определитель этой однородной системы должен равняться нулю. Но это есть как раз определитель (173), который должен быть отличным от нуля для того, чтобы был возможен переход к каноническим переменным. Из тождества (177) непосредственно следует, что в данном случае функция Н будет тождественно равна нулю. По предыдущему, мы можем определить понятие поля экстремалей, и для всякого поля мы будем иметь основную функцию частные производные от которой определяются равенствами:

Первое из этих уравнений показывает, что основная функция не содержит . Правые части уравнений являются однородными функциями нулевого измерения от и с помощью этих уравнений можно выразить отношения через производные . Подставляя эти выражения в уравнение (177), мы получим уравнение с частными производными, заменяющее в данном случае уравнение (176).

Проведем все вычисления для случая интеграла, выражающего длину кривой в -мерном пространстве.

Коэффициенты удовлетворяют соотношению и являются заданными функциями переменных . В данном случае мы имеем

откуда

где через мы обозначали элементы матрицы, обратной матрице

Подставляя выражение в уравнение (177), получим искомое уравнение в частных производных, которому должна удовлетворять основная функция любого поля экстремалей для интеграла (179)

Величина интеграла (179), взятого по экстремали поля между точками и М, дает геодезическое расстояние между этими точками, и для квадрата этого расстояния мы получаем во всяком поле уравнение с частными производными:

В этой задаче независимой переменной является параметр, который можно выбирать совершенно произвольно и который не входит в коэффициенты и функцию . Мы можем в данном случае рассматривать поле и основную функцию в -мерном пространстве в этом пространстве одну из переменных можно принять за независимую переменную, а уравнение (180) представляет собой для данного случая симметричную форму записи уравнения (176).

В случае основной задачи геометрической оптики при параметрической форме записи мы имеем

и уравнение (180) будет иметь вид

Мы получили это уравнение раньше, исходя из такой формы основного интеграла, в которой роль независимой переменной играла переменная х.

Во всей изложенной выше теории мы не предполагали, что независимая переменная не входит в подынтегральную функцию F. В случае задачи геодезических линий, которой соответствует интеграл (179), а не содержали независимой переменной, и можно поступать иначе. Обозначая, как и в [82],

через выражение, стоящее под знаком радикала в формуле (179), и принимая за параметр длину дуги, т. е. вводя соотношение

мы получим систему дифференциальных уравнений (111):

и для нее мы можем совершить переход к каноническим переменным уже обычным образом, а именно, вместо q ввести новые переменные

Функция Н определится равенством и из того, что есть однородный полином второй степени от непосредственно следует, что Выражая через и подставляя в соотношение мы и получим уравнение с частными производными для . Обозначая для ясности через функцию выраженную через будем иметь каноническую систему:

Принимая во внимание, есть однородный полином второй степени от мы можем утверждать, что написанные уравнения сохранят свой вид, если в них одновременно заменить на и — произвольная постоянная Пусть начальные значения при . Принимая во внимание сказанное выше, можем утверждать, что в решении канонической системы величины и s входят только в комбинациях т. е. это решение имеет вид

где . Принимая во внимание соотношение и тот факт, что можно утверждать, что квадрат геодезического расстояния от точки до точки может быть выражен формулой:

Пользуясь равенствами мы можем выразить через и, таким образом, правая часть написанной формулы выразится через