49. Случай функций нескольких переменных.

Мы рассматривали теорию интегральных уравнений в основном для случая одного независимого переменного и областью интегрирования являлся конечный или бесконечный промежуток. Совершенно аналогично строится теория и для функций многих переменных

где В — некоторая двумерная или трехмерная или, вообще, -мерная область, по которой и совершается интегрирование (для простоты пишем один знак интеграла), — заданная в этой области и искомая функция. Ядро — заданная функция пары точек (Р, Q), каждая из которых принадлежит В. Как и выше, можно рассматривать уравнения с непрерывными ядрами или с полярными ядрами вида

где — непрерывная или просто ограниченная функция, — расстояние между точками Р и Q и где размерность пространства. Слабо полярное ядро вида (304) определяется условием При рассмотрении уравнения для функций из в В ядро предполагается измеримой функцией в области измерений, определяемой тем, что Р и Q принадлежат -мерной области В. Предполагается при этом, что

Отметим, что для полярных ядер вида (304) при непрерывности и решение ищется в классе непрерывных функций.