2. Классификация интегральных уравнений.

Будем рассматривать пока линейные интегральные уравнения лишь для того случая, когда искомая функция должна быть определена на оси ОХ. Напишем интегральное уравнение

где искомая функция, — заданные функции.

Функция , как мы уже упоминали, называется ядром интегрального уравнения.

Написанное уравнение называется уравнением Волыперра второго рода. Аналогичное уравнение с постоянными пределами

называется уравнением Фредгольма второго рода. Если искомая функция входит только под знак интеграла, то мы получаем уравнения Вольтерра или Фредгольма первого рода. Они имеют вид

Примером уравнения Вольтерра первого рода является уравнение Абеля, о котором мы говорили раньше [II; 82]:

Дадим пример уравнения Фредгольма первого рода. Пусть и есть статический прогиб струны при наличии непрерывно распределенной нагрузки рассчитанной на единицу длины. Будем рассматривать эту непрерывно распределенную нагрузку как сумму сосредоточенных нагрузок . От каждой такой сосредоточенной нагрузки мы получаем, согласно сказанному в предыдущем параграфе, статический прогиб вида:

где определяется формулой (4). Интегрируя, получим статический прогиб при непрерывно распределенной нагрузке:

Это уравнение является интегральным уравнением Фредгольма первого рода, если задан прогиб и и ищется соответствующая нагрузка

Отметим, что уравнение Вольтерра является частным случаем уравнения Фредгольма. Действительно, в уравнении Вольтерра мы можем интегрировать по 2 от до если предварительно доопределить ядро условием при

Мы будем заниматься в дальнейшем почти исключительно уравнениями второго рода, главным образом уравнениями Фредгольма второго рода. Именно эти уравнения встречаются наиболее часто при решении предельных задач математической физики. Теория интегральных уравнений второго рода значительно проще теории уравнений первого рода. Как мы уже упоминали выше, наличие искомой функции вне знака интеграла дает нам естественную возможность применения метода последовательных приближений.

Теория интегральных уравнений во многом аналогична вопросам линейной алгебры, которые мы излагали в т. III. Напомним, что линейное преобразование в -мерном пространстве имеет вид

и осуществляется матрицей, образованной коэффициентами написанного преобразования. Иначе это преобразование мы записывали в виде:

где и первоначальный вектор, преобразованный вектор и А — матрица, составленная из коэффициентов . В случае интегральных уравнений вместо вектора -мерного пространства мы имеем функции, определенные обычно в некотором промежутке Вместо матрицы коэффициентов имеем

ядро и вместо суммирования имеем процесс интегрирования, так что в рассматриваемом случае линейное преобразование выражается формулой

где первоначальная функция и преобразованная функция.

Напомним далее, что собственными значениями матрицы А мы называли такие значения параметра при которых уравнение

имеет решения отличные от нуля. В дальнейшем будем называть собственными значениями ядра или соответствующего преобразования такие значения параметра , при которых однородное интегральное уравнение

имеет решения, не равные тождественно нулю. В теории интегральных уравнений наряду с собственными значениями принято рассматривать характеристические значения Таким образом, X называется характеристическим значением, если уравнение

имеет ненулевые решения. Сами эти решения называют собственными функциями ядра.

Отметим еще, что тождественное преобразование, при котором функции и соответствует та же функция [т. е. такое преобразование, при котором совпадает с ], не выражается в интегральной форме (18).

При изложении теории интегральных уравнений мы должны будем сделать, естественно, некоторые предположения относительно ядра , а также функций

Пока, как мы уже упоминали, будем заниматься интегральными уравнениями в одномерном случае. Пути перехода к многомерному случаю будут указаны ниже.

Отметим, наконец, что в дальнейшем мы будем считать заданные и искомые функции комплексными:

где вещественные функции. Независимая переменная всегда вещественна. В дальнейшем мы часто

будем иметь дело с конечным замкнутым промежутком. Такой промежуток мы будем обозначать символом [а, b].