87. Канонические переменные.

Условие трансверсальности лежит в основе очень важной в вариационном исчислении геометрической теории экстремальных задач, к изложению которой мы и переходим.

Предварительно мы совершим замену переменных в уравнениях Эйлера, а именно — перейдем к так называемым каноническим переменным. Начнем со случая трехмерного пространства, когда основной интеграл имеет вид

Уравнения Эйлера для этого интеграла

представляют собой систему двух уравнений второго порядка. Введем вместо у и новые переменные, v и w, по формулам

причем мы считаем, что написанные уравнения разрешимы относительно у и , т. е. что соответствующий функциональный определитель отличен от нуля:

Введем еще вместо F новую функцию Н:

и эту новую функцию Н будем считать выраженной через новые переменные v и w. Определим частные производные от функции по последним четырем переменным:

или, в силу (149),

Точно так же при помощи простого дифференцирования получим

Таким образом, вместо двух уравнений второго порядка (148) мы можем в новых переменных написать систему четырех уравнений первого порядка для функций у, z, v, w независимой переменной

Система (153) обычно называется канонической системой. Из формул (150) и (152) непосредственно получается выражение подынтегральной функции Р функционала через функцию :

Общий интеграл системы (148) или (153) будет содержать четыре произвольные постоянные. Через всякую точку пространства при соблюдении обычных условий для теоремы существований и единственности теории дифференциальных уравнений мы можем провести пучок экстремалей, придавая произвольные начальные данные производным Такой пучок экстремалей будет представлять собой семейство кривых, зависящее от произвольных постоянных, а именно, от начальных значений упомянутых выше производных. Назовем вообще семейством экстремалей совокупность решений уравнения Эйлера, зависящую от двух произвольных постоянных и заполняющую без взаимных пересечений некоторую часть пространства, т. е. такую, что через каждую точку этой части пространства проходит одна и только одна экстремаль семейства. Таким образом, при наличии такого семейства экстремалей мы будем иметь в каждой точке определенные значения для у и и тем самым в каждой точке части пространства, заполненного упомянутым семейством экстремалей, мы будем иметь определенные значения для v и w, т. е. мы можем считать, что в части пространства, заполненной семейством экстремалей, v и w определены как функции координат . Эти функции мы назовем функциями наклона упомянутого выше семейства экстремалей. Покажем теперь, что эти функции должны удовлетворять уравнениям, содержащим частные производные от этих функций. Действительно, четыре функции:

независимой переменной должны удовлетворять системе (153).

Заменяя в последних двух уравнениях этой системы полные производные их выражениями, можем переписать эти уравнения в виде

Воспользовавшись теперь двумя другими уравнениями системы (153), мы и получим систему в частных производных, которым должны удовлетворять функции наклона :

Положим теперь, наоборот, что появились не как функции наклона некоторого семейства экстремалей, а являются просто некоторым решением системы (156). Подставляя эти функции в правые части первых двух уравнений системы (153), мы получим систему двух уравнений первого порядка для у и z. В результате интегрирования этой системы окажутся функциями и двух произвольных

постоянных. Подставляя эти выражения в функции мы и для этих функций получим выражение через и две произвольные постоянные.

Нетрудно показать, что при этом будут удовлетворены и два последних уравнения системы (153). Действительно, пользуясь правилом дифференцирования сложных функций и первыми двумя уравнениями системы (153), мы можем написать

откуда в силу первого из уравнений системы (156) мы и получим уравнение . Точно так же можно показать и справедливость последнего из уравнений системы (153).

Если экстремали заполняют некоторую часть пространства без пересечений, т. е. образуют семейство экстремалей, то для этого семейства функции v и w, которые мы взяли как произвольные решения системы (156), будут являться функциями наклона для этого семейства экстремалей. Таким образом, мы показали, что, имея решение системы (156), мы можем построить соответствующее семейство экстремалей, для которого это решение системы (156) будет являться функциями наклона. При этом мы ограничиваемся, конечно, лишь той частью пространства, для которой являются семейством экстремалей, т. е. которую они заполняют без взаимных пересечений.

Отметим еще, как выглядит условие трансверсальности в канонических переменных. В первоначальных переменных это было условие (142). Пользуясь формулами (150) и (152), мы можем переписать условие трансверсальности в виде