109. Пример.

Возьмем функционал, рассмотренный в [105]:

и будем искать его наименьшее значение в упомянутом выше [105] классе D при однородных предельных условиях

причем, как и в [105], считается, что .

Мы знаем, что решение поставленной задачи дает функция удовлетворяющая уравнению (258) и предельным условиям (288). Пусть

- последовательность функций, непрерывных в интервале вместе с их первыми производными, удовлетворяющих условиям (288) и линейно независимых.

Составляем линейную комбинацию перрых функций нашей последовательности с неопределенными пока постоянными коэффициентами и подставляем в интеграл (287). После выполнения квадратур получим результат вида

Определим коэффициенты из того условия, чтобы значения удовлетворяли необходимому условию экстремума выражения проще говоря, приравняем нулю частные производные от по . Мы получаем, таким образом, уравнений первой степени для определения

Определитель этой системы уравнений есть вместе с тем дискриминант квадратичной формы, входящей в выражение (290) и происходящей от интегрирования выражения силу сделанных предположений, упомянутая квадратичная форма будет определенно положительной. В самом деле, она может оказаться равной нулю только в том случае, когда а это в силу линейной независимости функций приводит к тому, что все коэффициенты равны нулю. Но дискриминант определенно положительной квадратичной формы, равный произведению ее собственных значений, будет наверное положительной величиной Таким образом, определитель системы (291) будет отличным от нуля; мы найдем из этой системы определенные значения для и сможем составить приближение Отметим, что при увеличении числа вычисленные уже коэффициенты, вообще говоря, изменятся. Поэтому при обозначении этих коэффициентов мы приписали к ним еще верхний значок, указывающий номер приближения.

Принимая во внимание, что квадратичная форма, входящая в выражение (290), определенно положительна, а также то, что система (291) имеет единственное решение, можем утверждать, что решение этой системы дает наименьшее значение выражению (290). При увеличении числа наименьшее значение функционала ищется в более широком классе функций, и мы

можем, следовательно, утверждать, что

Кроме того, для любой линейной комбинации функций (289)

мы имеем [105] .

Покажем, что при некоторых предположениях относительно системы функций (289) функции стремятся равномерно на промежутке к упомянутой выше функции

Формулируем эти предположения. Для любой функции непрерывной вместе с производной на промежутке и при любом заданном положительном в, существует такая конечная линейная комбинация функций (289), что выполняются неравенства:

Покажем прежде всего, что

Мы имеем [105]

Применяя (294) к функции и пользуясь произвольностью F, мы можем утверждать, что при любом заданном положительном существует такая линейная комбинация (293) функций (289), что . Далее, в силу построения мы имеем и в силу (292) можем написать: при откуда ввиду произвольности положительного числа и следует (295). Мы имеем, как легко проверить,

Производя в первом интеграле интегрирование по частям и принимая внимание, что удовлетворяет условиям (288), получим для этого интеграла выражение:

откуда видно, что упомянутый интеграл равен нулю, так что

Обозначая через а наименьшее значение положительной функции на промежутке , получим на основании (297)

Далее, неравенство Буняковского дает нам:

и, на основании (298), получаем откуда в силу (295) и следует, что равномерно на промежутке

Докажем, что для функций

удовлетворяющих условиям (288), выполнены и условия (294).

Продолжим функцию заданную в промежутке на промежуток четным образом. При любом заданном положительном найдем такой

причем

Но из (300) следует , где и, следовательно, принимая во внимание, что получим откуда и из (300) следует:

Интегрируя написанную разность от 0 до получим

и, взяв мы получили линейную комбинацию функций удовлетворяющую условиям (294).

Совершенно аналогично, пользуясь теоремой о приближении непрерывной функции полиномами, можно показать, что функции также удовлетворяют условиям (294). Все они, очевидно, удовлетворяют и условиям (288).