Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

109. Пример.

Возьмем функционал, рассмотренный в [105]:

и будем искать его наименьшее значение в упомянутом выше [105] классе D при однородных предельных условиях

причем, как и в [105], считается, что .

Мы знаем, что решение поставленной задачи дает функция удовлетворяющая уравнению (258) и предельным условиям (288). Пусть

- последовательность функций, непрерывных в интервале вместе с их первыми производными, удовлетворяющих условиям (288) и линейно независимых.

Составляем линейную комбинацию перрых функций нашей последовательности с неопределенными пока постоянными коэффициентами и подставляем в интеграл (287). После выполнения квадратур получим результат вида

Определим коэффициенты из того условия, чтобы значения удовлетворяли необходимому условию экстремума выражения проще говоря, приравняем нулю частные производные от по . Мы получаем, таким образом, уравнений первой степени для определения

Определитель этой системы уравнений есть вместе с тем дискриминант квадратичной формы, входящей в выражение (290) и происходящей от интегрирования выражения силу сделанных предположений, упомянутая квадратичная форма будет определенно положительной. В самом деле, она может оказаться равной нулю только в том случае, когда а это в силу линейной независимости функций приводит к тому, что все коэффициенты равны нулю. Но дискриминант определенно положительной квадратичной формы, равный произведению ее собственных значений, будет наверное положительной величиной Таким образом, определитель системы (291) будет отличным от нуля; мы найдем из этой системы определенные значения для и сможем составить приближение Отметим, что при увеличении числа вычисленные уже коэффициенты, вообще говоря, изменятся. Поэтому при обозначении этих коэффициентов мы приписали к ним еще верхний значок, указывающий номер приближения.

Принимая во внимание, что квадратичная форма, входящая в выражение (290), определенно положительна, а также то, что система (291) имеет единственное решение, можем утверждать, что решение этой системы дает наименьшее значение выражению (290). При увеличении числа наименьшее значение функционала ищется в более широком классе функций, и мы

можем, следовательно, утверждать, что

Кроме того, для любой линейной комбинации функций (289)

мы имеем [105] .

Покажем, что при некоторых предположениях относительно системы функций (289) функции стремятся равномерно на промежутке к упомянутой выше функции

Формулируем эти предположения. Для любой функции непрерывной вместе с производной на промежутке и при любом заданном положительном в, существует такая конечная линейная комбинация функций (289), что выполняются неравенства:

Покажем прежде всего, что

Мы имеем [105]

Применяя (294) к функции и пользуясь произвольностью F, мы можем утверждать, что при любом заданном положительном существует такая линейная комбинация (293) функций (289), что . Далее, в силу построения мы имеем и в силу (292) можем написать: при откуда ввиду произвольности положительного числа и следует (295). Мы имеем, как легко проверить,

Производя в первом интеграле интегрирование по частям и принимая внимание, что удовлетворяет условиям (288), получим для этого интеграла выражение:

откуда видно, что упомянутый интеграл равен нулю, так что

Обозначая через а наименьшее значение положительной функции на промежутке , получим на основании (297)

Далее, неравенство Буняковского дает нам:

и, на основании (298), получаем откуда в силу (295) и следует, что равномерно на промежутке

Докажем, что для функций

удовлетворяющих условиям (288), выполнены и условия (294).

Продолжим функцию заданную в промежутке на промежуток четным образом. При любом заданном положительном найдем такой

причем

Но из (300) следует , где и, следовательно, принимая во внимание, что получим откуда и из (300) следует:

Интегрируя написанную разность от 0 до получим

и, взяв мы получили линейную комбинацию функций удовлетворяющую условиям (294).

Совершенно аналогично, пользуясь теоремой о приближении непрерывной функции полиномами, можно показать, что функции также удовлетворяют условиям (294). Все они, очевидно, удовлетворяют и условиям (288).

1
Оглавление
email@scask.ru