27. Вырожденное ядро.

Рассмотрим вырожденное ядро

где из Ему соответствует конечномерный оператор

Сопряженное ядро

и соответствующий конечномерный оператор

Уравнение

принимает вид

и неизвестные определяются из системы уравнений

где . Определитель этой системы имеет вид

Для сопряженного уравнения

решение имеет вид

и неизвестные определяются из системы уравнений

где . Определитель системы (175) получается из определителя заменой на на т. е. заменой строк столбцами наряду с заменой всех элементов сопряженными. Отсюда следует, что однородные уравнения

имеют одинаковые корни, причем ранг обоих определителей при каждом общем корне одинаков, и, следовательно, каждое из уравнений имеет одинаковое число линейно-независимых решений при одинаковых корнях. Иначе говоря, уравнения (169) и (173) имеют одинаковые характеристические значения и одинаковое число соответствующих линейно-независимых собственных функций. Уравнения (176) могут не иметь ни одного корня