79. Примеры.

1. Среди всех кривых длины l, соединяющих две данные точки А и В, определить кривую, ограничивающую вместе с прямолинейным отрезком АВ наибольшую площадь. Проведем ось через точки А и и пусть

— абсциссы этих точек. Считаем, что для искомой кривой у есть однозначная функция от в промежутке Дело сводится к отысканию наибольшего значения интеграла

при дополнительном условии:

Последний интеграл выражает длину линии между точками Его экстремалями будут, очевидно, прямые линии. Это можно непосредственно проверить, составляя уравнение Эйлера для этого интеграла. Если то условию (72) не удовлетворяет ни одна линия. Если то условию (72) удовлетворяет только прямолинейный отрезок АВ. В обоих случаях поставленная задача не имеет смысла, и в дальнейшем мы будем считать . В рассматриваемом случае

причем эта функция не содержит а потому первый интеграл соответствующего уравнения Эйлера будет

откуда

или

интегрируя, получим

т. е. экстремалями будут окружности радиуса .

Пусть со будет угол, под которым виден отрезок АВ из центра окружности:

Для определения со имеем уравнение:

решение которого всегда возможно при указанном выше условии. Пользуясь принципом взаимности, мы можем высказать предложение: среди кривых, ограничивающих площадь заданной величины, дуга окружности имеет экстремальную (очевидно, наименьшую) длину. Заметим еще, что если , то у не будет однозначной функцией от

Пользуясь полученным результатом, можно показать, что если замкнутая кривая среди кривых данной длины ограничивает наибольшую площадь, то кривая должна быть окружностью.

2. Требуется определить положение равновесия тяжелой однородной нити данной длины l с закрепленными концами, находящейся под действием силы тяжести. Считаем направление силы тяжести совпадающим с отрицательным направлением оси у. Положение равновесия определяется требованием, чтобы центр тяжести нити находился возможно ниже. Мы считаем очевидным, что всякая прямая, параллельная оси у, встречает нить не больше, чем в одной точке. Задача сводится к нахождению экстремума интеграла [ср. пример 4 из

при дополнительном условии

и граничных условиях: . В данном случае

и первый интеграл уравнения Эйлера будегй

Если положить

то уравнение легко интегрируется и дает

т. е. экстремалями задачи будут цепные линии. Постоянные а, b и должны определяться из граничных условий:

и условия (73). Вычитая одно граничное условие из другого и преобразуя разность гиперболических косинусов в произведение, будем иметь

где

После подстановки найденного значения у в условие (73) оно приводится к виду

или

В силу (74) получаем

Число очевидно, должно удовлетворять неравенству:

и уравнение (76) имеет единственный корень. Из (74) и (75) получаем

или

Но

есть монотонно возрастающая от 1 до функция при принимающая один и только один раз всякое значение, большее единицы, а потому уравнение (77) имеет единственный положительный корень. После того как найдены v и , нахождение не представляет затруднений.

3. Рассмотрим упругий однородный стержень, прямолинейный в недеформированном состоянии. Как известно из теории упругости, его потенциальная энергия в деформированном состоянии пропорциональна интегралу, взятому вдоль стержня, от квадрата его кривизны. Положим, что стержень имеет длину l и заделан в точках . Примем за независимую переменную длину стержня s, отсчитываемую от точки и обозначим через угол, образованный касательной к стержню с осью . Кривизна будет выражаться производной и интеграл, экстремум которого ищется, имеет вид

Как известно,

и мы имеем, следовательно, следующие два уравнения связи:

Кроме того, заделанность стержня в конечных его точках равносильна заданию функции при :

В данном случае:

и эта функция не содержит независимой переменной s, так что мы имеем непосредственно следующий первый интеграл уравнения Эйлера:

Введем две новые постоянные:

и вместо введем новую переменную :

где мы положили . При таких обозначениях написанный выше первый интеграл уравнения Эйлера приводится к виду

откуда мы получаем выражение s через в виде эллиптического интеграла:

Постоянные должны определяться из условий (79) и (80). Для нахождения декартовых координат точек стержня достаточно в соотношения

подставить вместо его выражение:

откуда сейчас же определяются х и у при помощи квадратур.

4. Рассмотрим задачу о нахождении геодезических линий на заданной поверхности:

Дело сводится к нахождению экстремума интеграла

при дополнительном условии (81). Уравнения (66) в данном случае будут иметь вид

Чтобы выяснить основное геометрическое свойство геодезических линий, продифференцируем уравнение (81) полным образом по

Умножая обе части на К и подставляя вместо их выражения из (82), после несложных преобразований придем к равенству:

аналогичному равенствам (82), причем дроби, стоящие под знаком производной по равны направляющим косинусам касательной к искомой геодезической кривой, так что мы можем переписать эти уравнения в виде

Пользуясь формулой , мы можем заменить дифференцирование по дифференцированием по s и получим таким образом:

где . Но, как известно [II; 136], левые части написанных уравнений пропорциональны направляющим косинусам главной нормали к кривой, а правые части — направляющим косинусам нормали к поверхности, откуда следует непосредственно, что вдоль геодезической линии главная нормаль к линии будет Ьдповременно и нормалью к поверхности.

5. Рассмотрим задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде: среди линий, соединяющих две данные точки, А и В, найти ту, двигаясь по которой пущенная вниз с данной скоростью материальная точка пройдет весь путь в кратчайшее время, причем в среде имеется сопротивление, выражающееся заданной функцией скорости

Из механических соображений непосредственно следует, что искомая кривая должна находиться в плоскости, проходящей через прямую АВ и вертикальную прямую, проведенную из точки А. Примем эту плоскость за плоскость и направим ось у вертикально вниз. Пусть координаты точек А и В. Приращение кинетической энергии при движении вдоль кривой будет происходить за счет положительной работы силы тяжести и отрицательной работы сопротивления, т. е.

где g — ускорение силы тяжести и Принимая за независимую переменную для функций v и у, получим

и дело сводится к нахождению экстремума интеграла

при наличии неголономной связи (83), причем v и у являются искомыми функциями.

Предельные условия обычного типа должны сводиться к заданию функций на концах промежутка:

Первое из условий (85) равносильно заданию величины скорости, с которой выпущена точка из начального положения А. Второе из условий (85) сводится к заданию скорости в конечной точке кривой и не представляется естественным с механической точки зрения. В дальнейшем мы еще вернемся к этому

вопросу. Следуя общему приему, мы должны написать уравнения Эйлера для функции

где

Функция F не содержит у, и ее уравнение Эйлера по отношению к у имеет очевидный первый интеграл или

а уравнение Эйлера для функции F по отношению к функции v будет

или

Мы имеем, таким образом, систему трех уравнений, (83), (87) и (88), для функций у, v и . Непосредственно дифференцируя разность по и пользуясь упомянутыми выше тремя уравнениями, убедимся в существовании следующего интеграла:

где а — новая произвольная постоянная. Из написанного уравнения можно определить к как функцию от Деля почленно (87) на (88), получим

В силу уравнений (87) и (89)

откуда

Подставляя в правые части равенств (90) и и производя квадратуры, будем иметь

где — произвольные постоянные. Написанные два уравнения и дают параметрическое представление искомой брахистохроны, причем v играет роль параметра. Произвольные постоянные должны определяться из предельных условий (84) и (85). Последнее из условий (85), как мы увидим в дальнейшем, должно быть заменено условием

которое выражает тот фант, что скорость v может иметь произвольное значение при . Написанное выше условие в силу (86) имеет вид Считая скорость отличной от нуля, получим