54. Уравнения Вольтерра первого рода.

До сих пор мы занимались исключительно интегральными уравнениями второго рода. Как мы сейчас увидим, в случае уравнения Вольтерра, при некотором дополнительном условии, уравнения первого рода легко могут быть преобразованы в уравнения второго рода. Рассмотрим уравнение Вольтерра первого рода:

причем из самого вида уравнения непосредственно вытекает, что заданная функция должна удовлетворять условию . Дифференцируя написанное уравнение по и деля на мы придем к следующему уравнению второго рода:

причем мы считаем, что непрерывна и Рассмотрение общего случая можно найти в книге Г. Мюнтца «Интегральные уравнения».

Принимая во внимание условие мы легко можем от уравнения (343) вернуться к уравнению (342), т. е. эти уравнения равносильны и, следовательно, уравнение (342) имеет единственное решение. Рассмотрим теперь уравнение первого рода с ядром следующего вида:

где непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по . К этому типу уравнений принадлежит уравнение Абеля, которое мы рассматривали раньше. Итак, будем рассматривать интегральное уравнение

причем так же, как в уравнении Абеля, мы взяли нижний предел интегрирования равным нулю. Умножив обе части этого уравнения на интегрируя по от и применяя формулу Дирихле [II; 82], мы придем к следующему интегральному уравнению:

ядро которого определяется формулой:

Это ядро уже не является сингулярным, как в этом нетрудно убедиться при помощи преобразования переменных интегрирования, а именно, вводя вместо новую переменную интегрирования 0 по формуле

мы получим

откуда, принимая во внимание непрерывность ядра и равномерную относительно и t сходимость написанного интеграла, мы можем заключить, что есть непрерывное ядро. Пользуясь формулами из теории функции мы можем написать

и формула (346) даст нам

Таким образом, новое непрерывное ядро будет удовлетворять условию если только аналогичному условию удовлетворяет функция Из формулы (346) непосредственно получается также, что имеет непрерывную производную по , если существует непрерывная

производная . Точно так же при наличии непрерывной производной из формулы

непосредственно вытекает, что правая часть уравнения (345) имеет непрерывную производную:

Таким образом, при сделанных предположениях уравнение (345) имеет решение Остается доказать, что эта функция удовлетворяет и первоначальному уравнению (344). Подставим в первоначальное уравнение и образуем разность

Умножая обе части на интегрируя по в пределах Oxz и применяя формулу Дирихле получим в силу (344):

Умножая обе части на интегрируя по в пределах от до и меняя порядок интегрирования, будем иметь при любом и:

откуда и вытекает непосредственно, что .

Положим теперь, что функция фигурирующая в уравнении (342), зависит только от разности , т. е. рассмотрим интегральное уравнение первого рода:

Умножим обе части на и проинтегрируем по от до . Вводя одностороннее преобразование Лапласа для заданных функций и искомой

в силу теоремы о свертывании мы получим

Мы считаем, что ядро удовлетворяет условию , о котором мы упоминали раньше и которое в данном случае имеет вид: . Это гарантирует нам существование решения уравнения (347). Далее, как и раньше, мы можем считать, что обращаются в нуль при больших положительных значениях . Принимая во внимание произвольность мы видим, как и в [53], что не должна обращаться в нуль при значениях s с достаточно большой вещественной частью. Формула (349) дает нам и мы получим в конечном виде решение уравнения (347), применяя формулу обращения к первому из равенств (348):

Указанный выше метод применим и к уравнению (344), если зависит только от разности (x — t), причем нетрудно проверить законность применения преобразования Лапласа и теоремы о свертывании, если