50. Уравнения Вольтерра.

Переходим к рассмотрению уравнений Вольтерра второго рода в одномерном случае:

Как уже указывалось ранее, это уравнение является частным случаем уравнения Фредгольма, а именно, тем случаем, когда при т. е. когда ядро обращается в нуль в половине квадрата лежащей с одной стороны от его диагонали . Считаем, что свободный член непрерывная функция в некотором промежутке непрерывная функция при при Таким образом, на диагонали ядро имеет разрыв первого рода, если . Все основные теоремы и аппарат из [5—11] полностью сохраняются.

Ищем, как и раньше, решение в виде ряда

Для функций получаем формулы

На конечном промежутке или квадрате имеем оценки для непрерывных функций:

и, проводя оценки получаем последовательно:

и вообще,

При изменении s на конечном промежутке члены ряда (306) по модулю не превышают положительных чисел:

образующих при любом К сходящийся ряд и, следовательно, ряд (306) сходится абсолютно и равномерно на а его сумма есть непрерывная функция и удовлетворяет уравнению (305).

Совершенно так же, как и в [5], можно образовать резольвенту:

где

причем из этих формул следует, что при Действительно, если то .

Как и выше, доказывается абсолютная и равномерная сходимость ряда (307) при всех К. Таким образом, для уравнения Вольтерра (305) резольвента есть целая функция, и при всяком К это уравнение имеет единственное решение, которое определяется формулой [6]:

Можно, следовательно, утверждать, что уравнение Вольтерра не имеет характеристических значений, т. е. однородное уравнение

при любом имеет только нулевое решение. В связи с этим, если бы мы построили для уравнения (305) знаменатель Фредгольма , то оказалось бы, что он вовсе не имеет корней [8]. Можно показать, что если ядро имеет вид

где — непрерывная функция и , то уравнение (305) имеет по-прежнему единственное решение, и это решение может быть получено указанным выше методом последовательных приближений. При этом ядра начиная с некоторого значения , непрерывны. При непрерывным будет уже

Точно так же метод последовательных приближений применйм и к системам уравнений:

Характерным для уравнения Вольтерра при сделанных предположениях является тот факт, что ряд, полученный по методу последовательных приближений, сходится при всех значениях h в упомянутом промежутке. Если условие непрерывности соблюдено при всех s а, то мы получим решение при всех s а. Рассмотрим уравнение с двумя переменными пределами:

или уравнение

Положим, что s меняется в некотором промежутке причем соблюдены обычные условия непрерывности для и, кроме того, пусть в указанном промежутке Существуют, очевидно, такие положительные числа N и М, что при мы имеем

В уравнении (311) или (312) заменим превосходящими положительными числам N и М и введем вместо или более широкий промежуток интегрирования :

Применение метода последовательных приближений к последнему уравнению приведет, как легко доказать, к степенному ряду относительно , коэффициенты которого положительны и не меньше, чем абсолютные величины коэффициентов степенного ряда, получаемого при решении уравнений (311) и (312). Уравнение (313) имеет обычный вид, причем роль играет при постоянная М, и соответствующий степенной ряд сходится равномерно относительно s в промежутке при всяком . То же можно тем более утверждать о ряде, получаемом при решении уравнений (311) или (312), и этот ряд дает решение соответствующего уравнения. Отметим, что решение уравнения (313) выражается в конечном виде, а именно:

Заметим также, что, например, уравнение (311) может быть записано в обычной форме (305), причем ядро подчиняется условию:

В интеграле, входящем в уравнение (305), мы можем переставить пределы, изменив одновременно знак у ядра. Таким образом, тот факт, что переменным является верхний предел интеграла, не существен для теории. Точно так же вместо неравенства мы могли бы поставить условие При помощи простой замены один случай переходит в другой. Аналогичным образом вместо указанных выше неравенств для , например, в уравнении (311), мы могли бы считать

Рассмотрим еще уравнение:

где определена и непрерывна при и ядро определено при Разбивая промежуток интегрирования на две части, , и заменяя в первом случае переменную интегрирования t на получим

заменяем s на и t на

Считая положим:

Мы приведем интегральное уравнение (314) к системе уравнений обычного вида:

Если мы решим эту систему уравнений, то получим две функции непрерывные в промежутке Решение уравнения (314) мы получим теперь по формулам: при при При применима любая из этих двух формул, потому что . Это доказывает, между прочим, что так полученное решение уравнения (314) будет непрерывно и в точке

Указанный выше метод последовательных приближений применим и для случая нескольких независимых переменных. Так, например, в случае двух независимых переменных мы имеем уравнение

к которому приложимо все сказанное выше. Разложение по параметру , сходящееся при всех значениях , возможно и для более общих уравнений, когда в правой части, кроме двойного интеграла, стоят и простые интегралы:

Здесь параметр вводится лишь для удобства проведения метода последовательных приближений. Совершенно так же, как и выше, можно доказать существование и единственность решения уравнения

где

Мы могли бы также считать функцию зависящей от , а не от у, и функцию зависящей от у. Нетрудно доказать и единственность решения уравнений (311) и (312).

Замечание. Метод последовательных приближений применим для уравнений Вольтерра и в том случае, когда из и при из . При этом получается степенной ряд относительно , сходящийся при любом почти везде в Аналогичный результат получается и для резольвенты