100. Принцип Остроградского — Гамильтона.

Вариационное исчисление играет основную роль при установлении уравнений механики и математической физики. Уравнения эти могут быть получены единообразным путем из некоторого вариационного принципа с помощью понятия энергии. Это последнее понятие, известное из механики систем точек, переносится и на другие физические процессы и приводит, как мы увидим в дальнейшем, при помощи основных принципов вариационного исчисления к некоторой общей схеме составления уравнения математической физики. Мы начнем со случая механики систем материальных точек.

Пусть имеется система материальных точек, массы которых мы обозначим через тк и координаты — через Положим, что движение системы подчинено связям:

и происходит под действием сил, обладающих силовой функцией:

причем и U суть заданные функции координат точек и времени. Кинетическая энергия нашей системы выразится формулой

Положим, что из некоторого положения соответствующего моменту времени наша система переместилась к моменту времени другое положение Из всех возможных способов, которыми могло осуществиться перемещение системы из I в мы выбираем класс допустимых движений системы, а именно тех движений, которые совместимы с заданными связями и в заданный промежуток времени переводят систему из I в II. Принцип Остроградского — Гамильтона утверждает, что действительное движение системы выделяется из всех допустимых движений тем, что оно удовлетворяет необходимому условию экстремума интеграла

при заданных положениях системы при

Каждому допустимому положению системы будет соответствовать совокупность функций определенных в промежутке удовлетворяющих уравнениям (233) и имеющих заданные значения при Мы имеем, - таким образом, вариационную задачу с голономными связями (233) и закрепленными границами. Для ее решения мы должны, следуя правилу множителей Лагранжа, составить функцию

и для нее написать уравнение Эйлера. В данном случае мы имеем

и аналогично для координат , и уравнения Эйлера будут иметь вид

т. е. они совпадают с дифференциальными уравнениями действительного движения системы, как это мы и хотели доказать.

Если вместо прямолинейных прямоугольных координат определить положение системы при помощи независимых параметров где то функции Т и U будут функциями этих параметров:

уравнения связи отпадут, и мы получим задачу об экстремуме интеграла (235) при закрепленных граничных значениях функций и без всяких связей. Уравнения Эйлера будут иметь вид

или, так как U не зависит от

Каноническими переменными будут в данном случае где называемые обычно обобщенными импульсами, определяются формулой

Функция [87] будет

Если Т есть однородный полином второй степени от то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях [I; 154] получим т. е. функция Н представляет собой полную энергию системы.