40. Решение интегрального уравнения через характеристические значения и собственные функции.

Положим сначала, что в интегральном уравнении

отлично от характеристического значения, так что уравнение имеет единственное решение. Обозначим через коэффициенты Фурье заданной функции и через искомой функции относительно ортонормированной системы собственных функций. Представляя функцию в правой части, представимую через ядро, согласно [32], получим

причем мы считаем, что имеется бесконечное число характеристических значений. Сравнивая коэффициенты Фурье левой и правой частей, получим уравнение для определения

откуда, если не есть характеристическое значение,

и формула (256) дает

причем ряд, стоящий справа, сходится регулярно для непрерывных или слабо полярных ядер и в среднем для ядер из . В этом легко убедиться и непосредственно, используя формулу

неравенство Коши и факт, что

Положим теперь, что совпадает с одним из характеристических значений, ранг которого может быть любым. Положим для простоты письма, что совпадает с характеристическим значением третьего ранга, т. е.

При этом вторая из формул (257) приведет нас к необходимому условию разрешимости

т. е. свободный член должен быть ортогонален к собственным функциям, соответствующим характеристическим значениям , а формула (258) определит коэффициенты при . Положим, что условия (261) выполнены. При этом общее решение уравнения (255) в рассматриваемом случае будет суммой какого-либо решения уравнения и общего решения однородною уравнения т. е.

где — произвольные постоянные. Кратко говоря, если совпадает с Характеристическим значением, то в одной или нескольких дробях (258 знаменатель обратится в нуль. При этом и соответствующий коэффициент должен равняться нулю, а всю дробь надо заменить произвольной постоянной. Таким образом, условие (261) не только необходимо, но и достаточно для разрешимости уравнения.